5.5. Формула правых прямоугольников
Рис.3
5.6. Метод Симпсона
Геометрически иллюстрация формулы Симпсона состоит в том, что на каждом из сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой дугой графика квадратного трехчлена.
Разобьем отрезок
интегрирования [a; b] на 2
n равных частей длины
.
Обозначим точки разбиения x0=a;
x1=x0+h, ... , xi=x0+i
h, ..., x2n=b. Значения функции f в точках
xi обозначим yi, т.е. yi=f(xi).
Тогда согласно методу Симпсона
Рис.4.
5.7. Метод трапеций
Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка . Точки деления будут: x0=a; x1=a+h; x2=a+2 h, ... , xn-1=a+(n-1) h; xn=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f(x) в узлах, обозначим их y0, y1, y2, ... , yn. Cтало быть, y0=f(a), y1=f(x1), y2=f(x2), ... , yn=f(b). Числа y0, y1, y2, ... , yn являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x0, x1, x2, ... , xn
Формула трапеций:
Формула означает, что площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из n трапеций (рис. 5); при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной.
Рис.5
Рис.6
6. Постановка задачи Коши
Определение. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.
Из всех разделов математического анализа, дифференциальные уравнения являются одним из самых важных по своим приложениям, ибо решая дифференциальное уравнение, т.е. находя некоторую функцию, мы устанавливаем закон, по которому происходит то или иное явление или процесс.
Определение. Решить задачу Коши для уравнения y'=f(x,y) (6.1) – это значит найти решение уравнения y'=f(x,y) в виде функции у(х), удовлетворяющей начальному условию у(х0)=у0
Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую у=у(х), проходящую через заданную точку M0(x0,y0) при выполнении равенства (6.1).
В классическом анализе разработано немало приемов нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные функции. Между тем весьма часто при решении практических задач эти методы оказываются либо совсем беспомощными, либо их решение связывается с недопустимыми затратами усилий и времени.
Например дифференциальное уравнение у'=у2+х2 не имеет аналитического решения.
По этой причине для решения задач практически созданы методы приближенного решения дифференциальных уравнений.
Чаще всего при численном решении дифференциальных уравнений получают решение в виде таблицы, либо строится график искомой функции (что почти равносильно).
7. Разностные схемы Эйлера
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения. Однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в табличной форме.
Пусть дано дифференциальное уравнение. Найти приближенное численное решение этого дифференциального уравнения, т.е. составить таблицу приближенных значений функции у=у(х) удовлетворяющей заданным начальным условиям.
x |
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
… |
xn |
y |
y0 |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
y5 |
… |
yn |
Где, xi=x0+i
h,
–
шаг таблицы.
Приближенно можно считать, что правая часть остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления. Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностными отношениями по приближенной формуле:
y-y0=f(x0,y0) (x-x0)
y=y0+f(x0,y0) (x-x0)
если x=x1, то
y1=y0+f(x0,y0) (x1-x0)
y1=y0+h f(x0,y0)
y0=h f(x0,y0)
если x=x2, то
y2=y1+f(x1,y1) (x2-x1)
y2=y1+h f(x1,y1)
y1=h f(x1,y1)
…
если x=xi+1, то
yi+1=yi+h f(xi,yi)
yi=h f(xi,yi)
Таким образом, получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:
yk=h f(xk,yk)
yk+1=yk+ yk
где k=0, 1, 2, … ,n
Геометрически эти формулы означают, что на отрезке [xi, xi+1] интегральная кривая заменяется отрезком касательной к кривой (см. рис. 7, рис. 8).
Рис.7 Рис.8