11. Частотні характеристики систем автоматичного управління.

Частотные характеристики описывают передаточные свойства элементов и систем в режиме установившихся гармоничных колебаний выходного сигнала, вызванных внешним гармоничным воздействием.

x(t)=x₀sinωt y(t)=y₀sin(ωt+φ)

Если на вход подан гармонический сигнал, то через некоторое время (необходимое для затухания свободной составляющей переходного процесса) на выходе системы установится процесс вынужденных гармоничных колебаний y(t) с той же частотой, но с другой амплитудой y_m и со сдвигом по фазе φ

Различают частотные характеристики АЧХ и ФЧХ.

Зависимость отношения амплитуд вх. и вых. сигналов от частоты наз. амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) А(ω).

Величина фазового сдвига между вх. и вых. сигналами от частоты наз. фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) φ(ω).

АЧХ и ФЧХ можно объединить в одну общую амплитудно-фазо-частотную характеристику (АФЧХ), которая представляет собой функцию комплексной переменной jω, при этом модуль АФЧХ равен АЧХ, а аргумент – ФЧХ.

АЧХ ФЧХ АФЧХ

Пример

Получить и построить частотные характеристики передаточной функции вида

– преобразование Лапласа

– преобразование в ряд Фурье

Действительная частотная характеристика Мнимая частотная характеристика

В практике исследования динамических систем удобно пользоваться частотными характеристиками, построенными в логарифмическом масштабе. Такие характеристики наз. логарифмическими и имеют меньшую крутизну по сравнению с основными частотными характеристиками, что позволяет без особых сложностей аппроксимировать их ломаными линиями.

Аппроксимированные логарифмические характеристики наз. асимптотическими.

12. Логарифмічні частотні характеристики лінійних систем. Асимптотичні логарифмічні частотні характеристики.

В практике исследования динамических систем удобно пользоваться частотными характеристиками построенными в log масштабе такие характеристики называют логарифмическими и они имеют меньшую крутизну по-сравнению с основными частотными характеристиками, что позволяет без особых сложностей аппроксимировать их ломанными линиями. Аппроксимированные log частотные характеристики называются асимптотическими.

Минимальная единица измерения частоты называется декада.

ЛАЧХ(логарифмическая амплитудно-частотная характеристика): .

Единица измерения децибел (дБ) – это единица отношения уровней двух сигналов. Если входной и выходной сигналы отличаются в 100 раз, причём вых.>вх., то говорят что звено имеет усиление равное (дБ).

1. НЧ

2. ВЧ

3. Частота сопряжения НЧ=ВЧ

13. Стійкість лінійних систем автоматичного управління.

Физический смысл устойчивости.

Устойчивость автом. сис-мы – это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия вывевшего систему из этого состояния. Неустойчивая ситема не возвращается в исходное состояние, а постоянно удаляеться от него.

Математический смысл устойчивости.

Движение системы состоит из свободной и вынужденой состовляющей. Вынужденная составляющая определяется внешним воздействием, а свободная – движением системы при снятии внешнего воздействия. Рельно в системе протекают оба процесса одновременно. Устойчивость линейной системы определяется исключительно свободной составляющей.

Система является устойчивой, если свободная составялющая переходного процесса с течением времени стремится к нулю.

Неустойчивая система:

Граница устойчивости:

Общие условия устойчивости лин. систем.

СУ будет устойчивой, если все корни ее характеристического уравнения располагаются в левой плоскости комплексной плоскости корней p.В случае, если есть хотя бы один корень находящийся в правой полуплоскости комплексной плоскости корней p, то система однозначно неустойчива. В случае, если помимо устойчивых корней, будут корни находящиеся на мнимой оси (границе устойчивости), то вся система находится на границе устойчивости.

Необходимое, но достаточное условие устойчивости линейных систем.

Система может быть устойчивой или неустойчивой, если положительны все коефициенты ее характеристического. В случае, если хотя бы один коефициент отрицателен, то система однозначно неустойчива.