- •Лекция №1 Вводная часть
- •Лекция №2 Закон функционирования динамической системы
- •Первая задача анализа
- •Этапы задачи формирования закона функционирования.
- •Лекция №4 Модель производства.
- •Что является компонентами модели производства?
- •Характеристики очереди
- •Лекция №5 Задача выявления динамических систем от параметров.
- •Этапы анализа динамической системы
- •Задача идентификации
- •Модель Хищник-Жертва
- •Формулы рекурсии
- •Результаты в графической форме
- •Преобразования Продифференцируем первое уравнение исходной системы.
- •Линейные, однородные системы дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от времени.
- •Лекция №9 Фазовые плоскости динамических систем
- •Классификационная табличка корней характеристического уравнения
- •Лекция №10 Проект
- •Оформление проекта
Формулы рекурсии
Результаты в графической форме
n |
x1,i |
x2,i |
ti |
x'1,i |
x'2,i |
1 |
|
|
t0 |
|
|
2 |
|
|
t0+h |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
j |
|
|
t0+(j-1)h |
|
|
N |
|
|
|
|
|
Графическое представление результатов
Временная диаграмма
x1(t)
x2(t)
0 t
Пространство состояний
x1
x2
Фазовый портрет
x'2
x'1
x2
x1
Интегрирование с переменным шагом
n |
x1,i |
x2,i |
ti |
h |
|
|
|
|
|
x2
x1
t
Нужно задать величину δ, что h≥ δ, а если h= δ, то переходим к h0.
Переменная относительно N
З адается : b
, bmax
nb
c
nc cmax
na
amax
a
Число узлов равно
Лекция №7
Преобразование системы линейных дифференциальных уравнений к одному дифференциальному уравнению -го порядка.
Пусть имеется система дифференциальных уравнений:
.
Сведем её к одному дифференциальному уравнению второго порядка вида:
.
Как это сделать?
Представим , , .
Пусть решение будет:
,
тогда, имеем:
,
.
Где - корни, тогда решения , а общее решение , где - постоянные.
Это было в общем. Теперь подробнее. Для этого продифференцируем первое уравнение исходной системы.
,
и в него подставим значение из второго уравнения:
.
Далее выразим :
.
Откуда получим:
.
Заменим , , , , получим искомое дифференциальное уравнение второго порядка.
Аналогичные преобразования проводятся для систем более высокого порядка т.е. для системы.
.
Получим:
.
Для этого продифференцируем первое уравнение, а потом ещё раз:
,
.
Для последнего уравнения .
Решением данной системы будет , где
.
Далее принимаем и решаем.
Возможные решения, полученного уравнения.
Решение в задаче Коши
Все корни для уравнения -го порядка таковы, что , тогда:
.
Корни комплексно сопряжённые
.
Корни кратные (кратности к)
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка:
Для того чтобы исследовать множество корней данного уравнения необходимо построить таблицу, где вычисляются , зависящие от т.е. , а также есть табличка параметров:
|
|
|
|
которые подбираются так, чтобы получит все случаи:
(( ), ( ), ( )).
.
, .
Далее строим , которая разбивается на три части по вышеуказанным пунктам.
Лекция №8
Неоднородные уравнения (дифференциальные, линейные) с постоянным коэффициентом.
(*)
Схема работы с данной системой уравнений такова:
Сначала сводим её к следующей форме:
.
Далее решение складывается из , когда (однородное уравнение) и , когда (неоднородное уравнение). Частное решение . Если представлена суперпозицией нескольких функций т.е. . Например . Тогда частное решение нашего уравнения будет состоять из частных решений .
Затем берем суперпозицию частных решений и получаем общее.
Как найти частное решение?
Если в правой части , то .
Если в правой части , то (получаем многочлен с известными коэффициентами).
Если в правой части , то можно разложить функцию в ряд и воспользоваться пунктом 2.
Систему (*) сведём к , где - характеристическое уравнение.
Если все корни различны, то , - определяется при . Если корни кратные, то см лекцию №7.