3. Электромеханические аналогии

Как указывалось выше колебательные процессы, происходящие в различных физических системах, часто описываются одинаковыми математическими уравнениями. Это обстоятельство дает возможность установить аналогию между системами различной физической природы. Наиболее полно эта аналогия установлена между механическими и электрическими системами.

Пусть имеется механическая система с одной степенью свободы, изображённая на рис. 5. Её движение описывается дифференциальным уравнением:

a· + b· + c·q =Q_в(t), (46)

где: q - обобщённая координата, a, b и c - коэффициенты инерции, затухания, жёсткости; Q_в(t) - обобщённая возмущающая сила.

Q_в(t)

q a

c b

Рис. 5

Рассмотрим теперь электрическую цепь, в которой индуктивность L, омическое сопротивление R, конденсатор ёмкостью С и внешний источник энергии э.д.с. Е(t) соединены последовательно (рис. 6). По второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений на отдельных участках цепи равна разности потенциалов на концах зажимов, т.е. э.д.с. источника энергии.

Так как падение напряжения от индуктивности равно L di/dt, где i - сила тока, падение напряжения от омического сопротивления равно R·i, а падение напряжения в конденсаторе определяется отношением (1/C)·q, где q - заряд конденсатора, то по второму закону Кирхгофа будем иметь:

L·di/dt + R·i + (1/C)·q = E(t),

или, учитывая, что i = dq/dt, получаем:

L· + R· + (1/C)·q = E(t). (47)

R

C L

E(t)

Рис. 6

Сравнивая (46) и (47), видим, что колебания механической системы (рис. 5) и колебания электрического заряда в цепи (рис. 6) описываются с точностью до обозначений одинаковыми дифференциальными уравнениями. Следовательно, между этими системами можно провести аналогию, сопоставив заряд q с обобщённой координатой q, индуктивность L с коэффициентом инерции а, омическое сопротивление R с коэффициентом затухания b, величину, обратную ёмкости 1/C, с коэффициентом жёсткости с, электродвижущую силу Е(t) с обобщённой возмущающей силой Q_в(t). Это первая система электрических аналогов.

Для электрической цепи с параллельно соединёнными элементами (рис.7) на основании первого закона Кирхгофа, складывая токи, получим:

u / R + (1/L)·∫u dt + C∙du/dt = i(t),

где: u - напряжение. Дифференцируя по времени, имеем:

C∙d²u/dt² + (1/R)∙du/dt + (1/L)∙u = di/dt. (49)

U C L R

Рис.7

Здесь имеем вторую систему электрических аналогов, в которой координате q соответствует напряжение u, коэффициенту инерции а соответствует ёмкость конденсатора С, коэффициенту затухания b отвечает проводимость 1/R, коэффициенту жесткости с – величина, обратная индуктивности 1/L, и возмущающей силе Q_в(t) - скорость изменения тока di/dt.

В соответствии с этим кинетической К = (1/2)∙а∙ и потенциальной П = (1/2)∙с∙q² энергиям, диссипативной функции Ф = (1/2)∙b∙ и возмущающей силе Q_в(t) механической системы с одной степенью свободы в первой системе аналогов (координата - заряд) соответствуют величины электромагнитной энергии W_м = (1/2)∙L∙ , электростатической энергии W_э = (1/2·С)·q², функция рассеивания F = (1/2)·R· , электродвижущая сила E(t). Во второй системе аналогий (координата - напряжение):

W_м = (1/2·L)∙ , W_э = (1/2)·С·u, F = (1/2·R)· , di/dt.

Соответствия между рассмотренными системами указаны в таблице.

Для того, чтобы электродинамическими аналогиями можно было пользоваться без употребления переходных коэффициентов, необходимо выразить все величины в международной системе единиц СИ.

Система
Механическая	Электрическая
Кинетическая энергия	Электромагнитная энергия
К = (1/2)∙а∙	Wм = (1/2)∙L∙	Wм = (1/2·L)∙
Потенциальная энергия	Электростатическая энергия
П = (1/2)∙с∙q2	Wэ = (1/2·С)·q2	Wэ = (1/2)·С·u
Диссипативная функция	Функция рассеивания
Ф = (1/2)∙b∙	F = (1/2)·R·	F = (1/2·R)·

Пользуясь электромеханическими аналогиями, можно для каждой механической системы построить соответствующую электрическую цепь, уравнения которой будут с точностью до обозначений совпадать с уравнениями движения механической системы. Электрическая цепь в отличие от механической системы, компактна; кроме того, процессы, происходящие в ней, хорошо наблюдаются и регистрируются на осциллографе. Испытатель подключает к осциллографу последовательно отдельные участки цепи. При изменении частоты генератора, также включённого в цепь, испытатель наблюдает по осциллографу возможное появление резонанса. Эти соображения лежат в основе конструкций электронных аналоговых (моделирующих) машин.

Подобное моделирование механических процессов при помощи электрических цепей удобно проводить на стадиях проектирования сложных механических систем (самолетов, ракет, космических кораблей и т.п.). Большая эффективность такого моделирования связана с простотой изменения параметров моделей, с их относительной дешевизной, с возможностью многократного использования, с отсутствием риска для людей при испытаниях и т.п.