3. Вынужденные колебания

Рассмотренная выше механическая система характеризовалась действием позиционных сил, т.е. сил, зависящих от положения точек системы, но и сами управляются этим движением, поскольку они зависят от обобщенной координаты q и обобщенной скорости . Допустим, что кроме этих сил на систему действуют возмущающие, т.е. силы внешнего происхождения, описываемые наперёд заданными функциями времени и не зависящие от движения системы. Колебания, вызываемые действием возмущающих сил, называются вынужденными. Подобные силы возникают, например, в результате неуравновешенности вращающихся частей машин.

Уравнение динамики в этом случае принимает вид:

(29)

где: Q_в  - обобщенная возмущающая сила. Простейшим примером возмущающей силы является сила, изменяющаяся по гармоническому закону:

Q_в = H· sin p·t,

где: H - амплитуда возмущающей силы, p - её круговая частота.

Считая по прежнему , получим:

a· + b· + c·q = H · sin p·t

или

+ 2n· + k²·q = h₁ · sin p·t, (30)

где:

h₁  = H / a, n = b / 2a, k² = c / a.

Уравнение (30) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний при линейном законе сопротивления системы с одной степенью свободы.

Общим решением уравнения (30) будет:

q = A₁·e^-n·t ·sin (k₁·t + β) + h₁·sin (pt - ε) /  (31)

где  ε определяется по формуле

tg ε = 2np / (k²  - p²) ,  (32)

k₁ и β определяются по формулам (19) и (23).

Первому слагаемому в правой части решения (31) соответствуют затухающие колебания, второе слагаемое выражает вынужденные колебания, имеющие частоту p возмущающей силы. Эти колебания происходят с постоянной, не зависящей от времени и от начальных условий амплитудой, тогда как "амплитуда" затухающих колебаний, ввиду наличия множителя e^-n·t, быстро стремится к нулю.

Поэтому, рассматривая установившееся движение, можно пренебречь первым слагаемым в (31) и выразить движение системы выражением:

q = h₁·sin (pt - ε) /  . (33)

Возмущающей силе H · sin p·t соответствует вынужденные колебания с амплитудой:

A₂ = h₁ /  (34)

и фазой (pt - ε); сдвиг фазы ε не зависит от начальных условий.

Запишем выражение (34) в виде:

A₂ = h₁ / k² · (35)

Здесь λ = p/k - коэффициент расстройки, ν = n/k, q_cт = h₁ / k² = H/c - статическое отклонение системы при действии постоянной силы H.

Коэффициент динамичности:

χ = A₂ / q_cт = (36)

показывает, как изменяется амплитуда вынужденных колебаний, отнесенная к статическому отклонению системы при действии на нее силы Н, в зависимости от частоты р и коэффициента n, характеризующего сопротивление.

График функции χ = f(λ) называется резонансной кривой. На рис.3 представлены резонансные кривые для различных ν. Семейство кривых расположено ниже кривой, отвечающей отсутствию сопротивления (n = 0, ν = 0). В случае ν = 1 амплитуда A₂ с увеличением λ монотонно уменьшается.

Когда частота возмущающей силы мала по сравнению с частотой собственных колебаний (0< λ <<1, k >> p), коэффициент динамичности близок к единице. Амплитуда вынужденных колебаний приблизительно равна статическому смещению системы под действием постоянной силы Н. В другом крайнем случае, когда частота возмущающей силы велика по сравнению с собственной частотой (λ >>1, p >> k), коэффициент χ  весьма мал, соответственно мала и амплитуда вынужденных колебаний. При λ → ∞, χ → 0.

χ

ν=0,1

3

ν=0,2

2

ν=0,3

1

ν=1

0 1 2 λ

Рис. 3

В отмеченных крайних случаях кривые χ = f(λ) сходятся очень близко, т.е. силы сопротивления практически не влияют на амплитуды вынужденных колебаний. Это позволяет при малом сопротивлении и при значениях λ, значительно отличающихся от единицы, можно рассчитывать амплитуды вынужденных колебаний без учета сопротивления.

Когда же частота возмущающей силы приближается к частоте свободных колебаний, коэффициент динамичности  χ быстро увеличивается и его значение существенно зависит от степени сопротивления (особенно при малых ν). Максимум χ устанавливается при λ, несколько меньшем единицы. Приравнивая нулю производную динамического коэффициента, взятую по λ, можно найти, что коэффициент χ достигает максимума при:

p² / k² = 1 - 2∙n² / k²

или  

p =  ; (37)

а максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний будет при этом равно:

А_2max  = h₁ / 2∙n∙k∙   (38)

Однако, так как n обычно весьма мал по сравнению с k, то с достаточной степенью точности можно считать, что амплитуда приобретает максимальное значение не при условии (37), а при p = k. В этом случае:

А_2max  = h₁ / 2∙n∙k = h₁ / 2∙n∙p, (39)

т.е. наибольшая амплитуда обратно пропорциональна коэффициенту n, характеризующему степень сопротивления. Соответственно, максимальное значение коэффициента динамичности:

χ_max = k / 2∙n = π / Δ . (40)

Хотя амплитуда вынужденных колебаний с учётом сопротивления остается конечной и при p = k, более или менее продолжительная работа в этих условиях всегда сопровождается вполне реальной опасностью разрушения конструкции.

При отсутствии сопротивления (n = 0, υ = 0) дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (30) принимает вид:

+ k²·q = h₁ · sin p·t. (41)

Решение этого уравнения в части вынужденных колебаний:

q = (h₁·sin p·t) / (k² – p²). (42)

Амплитуда вынужденных колебаний:

А₂  = h₁ / |k²- p²| = H / |c - a·p²|. (43)

Коэффициент динамичности:

χ = 1 / |1- λ²|. (44)

Из графика (см. рис.3) видно, что когда λ → 1, коэффициент динамичности увеличивается до неограниченно большой величины, а при λ = 1 резонансная кривая терпит разрыв. Случай  λ = 1 (p = k) соответствует явлению резонанса и требует особого рассмотрения. При резонансе возмущающая сила действует "в такт" с собственными колебаниями системы, вследствие чего амплитуда резонансных колебаний теоретически может расти безгранично при отсутствии сопротивления.

В результате решения уравнения (41) в случае резонанса получим следующее уравнение вынужденных колебаний:

q = h₁·t·sin (k·t -  π/2) / 2·k. (45)

Амплитуда вынужденных колебаний h₁·t / 2·k неограниченно возрастает при t → ∞.

Резонанс опасен для сооружений, машин, механизмов и приборов, так как ему свойственны колебаний весьма большой амплитуды. Они вызывают значительные динамические перемещения и напряжения, могущие привести к разрушению. Именно поэтому соотношения размеров машин и сооружений определяют так, чтобы частоты собственных колебаний была по возможности удалена от предвидимой частоты возмущающей силы. Так называемую критическую частоту p_кр возмущающей силы находят из условия резонанса: p_кр = k.