Задания для выполнения расчетно-графической работы № 2 Задание № 1

1. Даны точки А(-2;3;-4), В(3;2;5), С(1;-1;2), D(3;2;-4). Вычислить .

2. Даны точки М(-5;7;-6) и N(7;-9;9). Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

3. Сила, определяемая вектором , разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором . Найти составляющую силы в направлении вектора .

4. Даны векторы и . Вычислить .

5. Даны векторы и . Вычислить .

6. Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

7. Даны точки A(3;-4;-2), B(2;5;-2). Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями OX, OY углы , , а с осью OZ – тупой угол .

8. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями OX, OZ углы , . А осью OY – острый угол .

9. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

10. Даны векторы и . Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , .

11. Даны векторы и . Найти вектор при условии, что он перпендикулярен к оси ОZ и удовлетворяет условиям , .

12. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к векторам и и удовлетворяет условию .

13. Вектор , перпендикулярный к векторам и , образует с осью OY тупой угол. Найти его координаты, зная, что .

14. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

15. Вектор , коллинеарный вектору , образует острый угол с осью OZ. Зная, что , найти его координаты.

16. Вектор перпендикулярен векторам и и удовлетворяет условию . Найти координаты .

17. Даны векторы и . Найти косинус угла между векторами и , удовлетворяющими системе уравнений .

18. Векторы и взаимно перпендикулярны; вектор образует с ними углы, равные , зная, что , , , вычислить .

19. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и если известно, что , и .

20. Проверить, являются ли точки A(-1;2;3), B(2;-1;1), C(1;-3;1) и D(-5;3;3) вершинами трапеции.

21. Определить при каком значении α векторы и будут взаимно перпендикулярны, если , , .

22. . Найти вектор , образующий со всеми тремя базисными ортами острые углы, если .

23. Найти угол, образованный единичными векторами и , если известно, что векторы и перпендикулярны.

24. , . Определить при каком значении векторы и будут перпендикулярны.

25. Доказать, что четырехугольник с вершинами А(-3;5;6), В(1;-5;7), С(8;-3;-1) и D(4;7;-2) – квадрат.

26. Найти длины сторон и величину угла треугольника с вершинами А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), и С(3;-2; 1) при вершине С.

27. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положения А(-1;2;0) в положение В(2;1;3).

28. Зная, что , , и , вычислить .

29. , , . Найти .

30. Найти cos между диагоналями АС и BD параллелограмма, если заданы три его вершины А(2;1;3), В(5;2;-1), и С(-3;3; -3).

Задание № 2

По трем заданным точкам построить треугольник и средствами векторной алгебры найти: 1) длину стороны ВС; 2) уравнение линии ВС; 3) длину и уравнение высоты, проведенной из точки А; 4) площадь треугольника АВС; 5) угол между сторонами ВА и ВС; 6) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины В; 7) составить уравнение медианы, проведенной из вершины С; 8) точку пересечения его медианы, проведенной из вершины С и высоты, проведенной из вершины А; 9) координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2:3, считая от точки А; 10) уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно стороне ВС. Координаты вершин треугольника даны в таблице.

№ варианта	А	В	С	№ варианта	А	В	С
5.1	(-2; 5)	(4, 5)	(1, 1)	5.16	(6, 9)	(5, -4)	(4, 6)
5.2	(-3, 1)	(4, -5)	(7, 2)	5.17	(2, 3)	(4, 0)	(5, 3)
5.3	(4, -1)	(4, 4)	(6, 4)	5.18	(8, 7)	(3, 0)	(5, 6)
5.4	(-5, 3)	(4, 6)	(8, 4)	5.19	(8, 1)	(3, 0)	(3, 5)
5.5	(0, -6)	(3, 5)	(-2, 4)	5.20	(1, 3)	(7, 10)	(3, 2)
5.6	(-2, -3)	(10, 6)	(5, 2)	5.21	(4, 0)	(6, 9)	(-2, 1)
5.7	(-6, 2)	(1, 8)	(4, 5)	5.22	(-2, 1)	(-2, 5)	(4, 0)
5.8	(1, 5)	(6, 5)	(5, 7)	5.23	(-2, 1)	(-3, 1)	(4, 10)
5.9	(5, -2)	(7, 2)	(5, 5)	5.24	(1, -2)	(4, -1)	(6, 9)
5.10	(5, -2)	(8, 4)	(6, 5)	5.25	(3, 1)	(3, 2)	(1, 2)
5.11	(9, 6)	(2, 3)	(4, 0)	5.26	(1, -1)	(0, 4)	(1, -1)
5.12	(7, 5)	(4, 0)	(1, 2)	5.27	(1, -1)	(2, -3)	(4, 5)
5.13	(4, 7)	(3, 2)	(-7, 4)	5.28	(-2, 0)	(-1, 2)	(3, 4)
5.14	(7, 3)	(0, 6)	(6, 8)	5.29	(3, 2)	(1, 2)	(6, 6)
5.15	(4, 9)	(2, 4)	(5, 7)	5.30	(0, 4)	(-2, -4)	(6, 6)

Задание № 3

1.Даны две смежные вершины А(-3;1) и В(2;2) параллелограмма АВСD и точка Q(3;0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

2. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма х-у-1=0, х-2у=0 и точка пересечения его диагоналей О(3;-1). Написать уравнения двух других сторон параллелограмма.

3. Какой угол образует с осью Ох прямая, проходящая через точку D(1;3) и точку пересечения медиан треугольника с вершинами А(-1;4),В(2;3), С(5;8)?

4. Известны вершины треугольника А(-4;-2),В(0;1), С(2;-1). Найти расстояние от начала координат до точки пересечения медианы, проведенной из вершины А, с высотой, проведенной из вершины В.

5. Известны уравнения прямых, на которых лежат две стороны ромба:

х+2у-4=0, х+2у-10=0 и уравнение одной из его диагоналей х-у+2=0. Найти координаты вершин ромба.

6. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-2),В(0;5), С(-6;5). Найти координаты центра описанной около треугольника окружности.

7. Составить уравнение прямой, симметричной прямой х+2у-6=0 относительно точки А(4;2).

8. Две смежные вершины квадрата имеют координаты (1;4) и (4;5). Найти координаты двух других вершин.

9. При каком значении прямая х+у- =0 касается окружности ?

10. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2;5) на расстоянии 2 единиц от точки В(0;-1).

11. На прямой х-3у+8=0 найти координаты точки, равноудаленной от двух точек (5;4) и (-3;2).

12. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки

А(-1;2) на прямую 3х-5у-21=0.

13. Дан треугольник с вершинами в точках А(2;5), В(5;-1), С(8;3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения медиан треугольника перпендикулярно к прямой х+у+4=0.

14. Через точку пересечения прямых 3х+2у-4=0 и х-5у+8=0 проведены прямые, одна из которых проходит через начало координат, а другая параллельна оси Ох. Составить их уравнения.

15. Дан четырехугольник ABCD с вершинами А(3;5),В(6;6), С(5;3), D(1;1). Найти: а) координаты точки пересечения диагоналей; б) угол между диагоналями.

16. Найти геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек А и В постоянно и равно 2.

17. Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат и вместе с прямыми х-у+12=0, 2х+у+9=0 образует треугольник с площадью, равной 1,5.

18. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С(-5;4), зная , что длина ее отрезка, заключенного между прямыми х+2у+1=0 и х+2у-1=0, равна 5.

19. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1;1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 2.

20. Через точку М(4;3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

21. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х+7у-8=0, 3х+2у+5=0 под углом к прямой 2х+3у-7=0.

22. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых 11х+3у-7=0, 12х+у-19=0 на одинаковых расстояниях от точек А(3;-2) и В(-1;6).

23. Найти проекцию точки Р(-8;12) на прямую, проходящую через точки А(2;-3) и В(-5;1).

24. Найти точку М, симметричную точке Р(8;-9) относительно прямой, проходящей через точки А(3;-4) и В(-1;-2).

25. Точка А(-4;5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7х-у+8=0. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

26. Даны две противоположные вершины квадрата А(-1;3) и С(6;2). Составить уравнения его сторон.

27. Луч света направлен по прямой х-2у+5=0. Дойдя до прямой 3х-2у+7=0, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

28. Даны две вершины треугольника А(-10;2) и В(6;4); его высоты пересекаются в точке Р(5;2). Определить координаты третьей вершины.

29. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная , что длина ее отрезка, заключенного между прямыми 2х-у+5=0 и 2х-у+10=0, равна .

30. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух прямых 3х-у+7=0 и 3х-у-3=0.