7.5 Факторный анализ, полный и дробный факторный эксперимент и математическая модель
В предыдущем разделе нас интересовало влияние на отклик одного фактора. Рассмотрим теперь случай наличия двух и более факторов, влияние которых на отклик должен исследовать экспериментатор.
Возможны следующие методы исследования:
Классический метод "один фактор в каждый момент времени"
Один из традиционных методов исследований многофакторных экспериментов состоит в фиксации всех факторов, кроме одного, на некоторых уровнях и вариации уровней этого фактора. При такой схеме факторы изменяются и исследуются поочередно. Известно, что эксперимент с одним фактором редко обладает достаточной информативностью, если он насчитывает в себе менее 8 выборочных точек на каждом уровне. (Можно привести подобный традиционный 2- х факторный эксперимент с двумя уровнями каждого фактора, выборка имеет объем 32.)
Симметричный полный факторный эксперимент
Однако можно построить этот эксперимент и как симметричный полный факторный эксперимент, план которого приведен в таблице 7.5.1. Факторным экспериментом называется такой эксперимент, в котором все уровни данного фактора комбинируются со всеми уровнями всех других факторов. Под "симметричностью" понимается одинаковое количество уровней для всех факторов.
Основные достоинства факторного анализа: простота применения и интерпретации;
максимальная эффективность метода исследования (факторный анализ позволяет получить требуемую информацию при заданной точности с меньшими затратами, т.е. количество требуемых экспериментов меньше);
если имеют место взаимодействия между факторами -то их можно правильно идентифицировать и интерпретировать эти взаимодействия (важно в задачах интерпретации);
результаты справедливы, как правило, в более широком диапазоне условий (т.к. влияние фактора оценивается при нескольких уровнях других факторов).
Если число уровней каждого фактора 2, то имеем полный факторный эксперимент типа 2k - он прост в планировании. Требуемое количество машинных прогонов N = 2k, k — число факторов, 2 - число уровней.
В планировании эксперимента используют кодированные значения факторов: +1, -1 (1 опускают для простоты). Условия эксперимента описывают в виде таблицы — матрицы планирования эксперимента: вектор -строки матрицы соответствуют № прогона, вектор -столбцы — значениям факторов.
Таблица 7.5.1
Матрица планирования эксперимента
№ опыта |
X1 |
Х2 |
Y |
1 |
-1 |
-1 |
y1 |
2 |
+ 1 |
- 1 |
y2 |
3 |
- 1 |
+ 1 |
y3 |
4 |
+ 1 |
+ 1 |
y4 |
Геометрическая интерпретация полных факторных планов в кодированном двухфакторном пространстве имеет вид:
Рисунок 7.5.1 — Геометрическая интерпретация полных факторных планов 22.
В области определения факторов (01, 02), найдем точку, соответствующую основному уровню, и проведем оси координат. Вершины квадрата соответствуют опытам, каждая сторона равно двум интервалам. Площадь, ограниченная квадратом называется областью определения эксперимента. В задачах интерполяции — это область предсказываемых значений y.
План 22 задается координатами вершин квадрата.
Геометрической интерпретацией полного факторного эксперимента 23 служит куб, координаты вершин которого задают условия прогонов.
Рисунок 7.5.2 — Геометрическая интерпретация полных факторных планов 23.
При k > 3 - план– координаты вершин гиперкуба.