2. Спектральные характеристики последовательности импульсов

Другим типом входного сигнала является периодическая последовательность одиночных прямоугольных импульсов.

Рис.30. Периодический импульсный сигнал

Периодический сигнал может быть представлен как:

Его спектральное представление (дискретный комплексный спектр) есть последовательность спектральных компонент {As}s=0,±1,±2……. Они являются коэффициентами ряда Фурье для периодического сигнала

,

Спектральные компоненты данного ряда вычисляются по известным формулам:

Так как сигнал представлен четной функцией времени, то спектральные компоненты вещественны.

Спектральные компоненты {As}s=0,±1,±2…… могут быть вычислены при известной спектральной плотности. Проведем расчет для первых 15 гармоник.

q = 6

= Гц

= с

Рис.31. Входной периодический сигнал

7 Описание выходного сигнала

7.1 Реакция на импульсный входной сигнал

Выходной сигнал любого четырехполюсника определяется как непрерывная суперпозиция гармоник с помощью прямого преобразования Фурье.

Амплитуда гармоник определяются спектральной плотностью выходного сигнала. Эта плотность естественным образом представляет собой спектральную плотность входного сигнала, умноженную на передаточный коэффициент четырехполюсника.

Наибольший интерес представляет не реальный выходной сигнал, а его отклонение от идеального (ожидаемого) выходного сигнала, т.е. от сигнала e₀(t). Это отклонение позволяет оценить качество передачи через длинную линию. Значение отклонения определяют по формуле:

, где

,

_{В данных формулах учтено, что в реальной линии Это условие называется отсутствием фазовой дисперсии (фазовая скорость не зависит от частоты).}

_{Выходной сигнал имеет спектральное представление вида:}

В

В результате получим следующую форму выходного импульсного сигнала.

Выходной сигнал совпадает по форме с входным сигналом.

Рис.32. Выходной импульсный сигнал после преобразования Фурье.

2. Реакция на периодический входной сигнал

Если входной сигнал периодический, то периодическим (с тем же периодом) будет и выходной сигнал, причем период входного сигнала равен периоду выходного сигнала. Следовательно, выходной сигнал можно представить в виде суммы гармоник кратных частот (в виде ряда Фурье):

_{Каждая гармоника входного сигнала распространяется через длинную линию независимо от других гармоник, и ее амплитуда умножается на коэффициент передачи линии на частоте данной гармоники:}

_{Зная выражения} для и (при отсутствии фазовой дисперсии), получим:

_, где

В силу четности слагаемых относительно S данное выражение можно записать в виде:

Проведем расчет для 15 гармоник. Аналитическое выражение для периодического выходного сигнала примет вид:

Получим:

Выходной периодический сигнал представлен на рис.33:

Рис. 33: Выходной периодический сигнал

7. Оценка качества передачи линии с помощью преобразования Лапласа

Для более точного выяснения формы выходного сигнала целесообразно провести аналитический расчет во временной области с применением преобразования Лапласа.

Входной сигнал был представлен в виде , следовательно, его изображение: .

Передаточная функция длинной линии равна:

, где

В области малых и высоких частот β( ) практически линейно зависит от частоты, т.е. величина β_отн( ) практически не зависит от частоты в соответствующих областях. Учитывая первые два члена разложения, получим:

Данная передаточная функция является передаточной функцией по Фурье. Перейдем к передаточной функции по Лапласу:

Найдем изображение выходного сигнала:

Восстановим выходной сигнал по его изображению (используя таблицу соответствий оригиналов и изображений), и применяя теорему запаздывания. Тогда оригинал будет иметь вид:

Учитывая три члена разложения экспоненты в ряд, получим:

Изображения выходного сигнала:

Далее получаем:

Данное выражение получено в результате следующих соображений:

, где

По теореме об интегрировании оригинала имеем:

В силу единственности изображения получаем:

α(ω) рассчитаем для частоты передаваемого сигнала: α(ω)= α(2πf)

Рис.34: Форма выходного импульсного сигнала (преобразование Лапласа)

Отклонение выходного сигнала от идеального входного:

Рис.35: Отклонение выходного сигнала от входного по Лапласу

Из преобразования Лапласа видно, что в выходном сигнале присутствуют искажения формы фронта и спада прямоугольного импульса.