§ 4. Определение теоретической функции плотности распределения. Графическое изображение эмпирического и теоретического распределений

Вид функции теоретического распределения выбирают, исходя из предпосылок о физической природе появления разброса резуль­татов измерений и анализа этих результатов. При этом следует учитывать как общие соображения о законе распределения, так и вид графических изображений эмпирического распределения — гистограммы или полигона. Зная форму кривой плотности теорети­ческого распределения и сравнивая ее с гистограммой или полиго­ном, выносят предварительное суждение о возможности использо­вания конкретного вида функции теоретического распределения.

При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откла­дывают значения результатов измерений, по оси ординат — частости появления результатов измерения в каждом i-м интервале. На рис. II-2 и II-3 кривые 1 соответствуют гисто­граммам для данных согласно примерам 1 и 2, а кривые 2 — поли­гонам распределения для этих же примеров.

Для построения гра­фического изображения теоретического распреде­ления необходимо:

сделать предваритель­ное суждение о виде функции плотности тео­ретического распределе­ния;

определить конкрет­ную функцию плотности вероятности, используя полученные ранее эмпи­рические характеристики;

определить теоретиче­ские значения вероятно­стей P_i попадания резуль­татов измерения в тот или иной интервал (произве­сти выравнивание эмпири­ческого распределения по гипотетическому).

Пример 4. Построить графическое изображение теоретического распреде­ления по данным приме­ра 2.

Решение. Учитывая отсутствие сведений о доминирующих факторах, а также вид гистограммы и полигона (рис. II-3), пред­лагаем закон нормального распределения с функцией плотности согласно выражению (II-3).

Подставляем в выражение II-3 вместо М и эмпирические характеристики и S:

Конкретные значения вероятности попадания результата изме­рения в конкретный интервал удобно определять, используя табу­лированные значения функции:

(II-18)

приведенные в приложении I; при этом

(II-19)

а вероятность попадания результата измерения в i-й интервал величиной h

(II-20)

Результаты вычислений сведены в табл. II-4.

Графически теоретическое распределение изображено в виде кривой 3 на рис. II-3.

Таблица II-4

Номер интервала	Середина интервала , мм	Эмпирические частости	, мкм
1	41,898	0,003	-13	2,96	0,0050	0,002
2	41,900	0,008	-11	2,50	0,0175	0,008
3	41,902	0,017	-9	2,04	0,0498	0,023
4	41,904	0,075	-7	1,59	0,1127	0,051
5	41,906	0,097	-5	1,14	0,2083	0,095
6	41,908	0,133	-3	0,68	0,3166	0,144
7	41,910	0,189	-1	0,23	0,3885	0,177
8	41,912	0,189	1	0,23	0,3885	0,177
9	41,914	0,092	3	0,68	0,3166	0,144
10	41,916	0,100	5	1,14	0,2083	0,095
11	41,918	0,075	7	1,59	0,1127	0,051
12	41,920	0,014	9	2,04	0,0498	0,023
13	41,922	0,008	11	2,50	0,0175	0,008

Пример 5. Построить графическое изображение теоретического распределения по данным примера 1.

Решение. Учитывая, что измерялись величины радиальных биений, а также вид гистограммы и полигона (рис. II-2), предпола­гаем, что закон распределения — закон Релея с функцией плотно­сти согласно выражению (II-6). В этом выражении берется для нормального закона по каждой из осей координат, а значение S в примере 1 получено для закона Релея. Поэтому вместо надо подставлять не S, а эмпирическое среднее квадратическое отклоне­ние разброса по ортогональным осям S_x,y:

(II-21)

мм.

Тогда

Конкретные значения вероятности попадания результата изме­рения в конкретный интервал удобно определять, используя не функцию плотности вероятности, как в примере 4, а интегральную функцию распределения для закона Релея:

(II-22)

Здесь используем то обстоятельство, что значения радиальных биений всегда больше нуля. Поэтому вероятность попадания ре­зультата измерения в первый интервал равна значению интеграль­ной функции, соответствующему концу интервала, во второй — раз-

Ности значений интегральной функции на его краях и т. д. Заменив в выражении (II-22) отношение г/о безразмерной величиной г с учетом выражения (II-18) получаем

(II-23)

т. е. в этом случае можно использовать табулированные значения функции согласно приложению I. Результаты вычислений све­дены в табл. II-5.

Номер интервала	Конец интервала, мм	Эмпирические частости
1	0,02	0,050	0,33	0,378	0,947	0,053	0,053
2	0,04	0,175	0,66	0,321	0,804	0,196	0,143
3	0,06	0,190	0,98	0,247	0,619	0,381	0,185
4	0,08	0,165	1,31	0,169	0,424	0,576	0.195
5	0,10	0,120	1,64	0,104	0,261	0,739	0,163
6	0,12	0,125	1,97	0,057	0,143	0,857	0,118
7	0,14	0,085	2,30	0,028	0,070	0,930	0,073
8	0,16	0,025	2,62	0,012	0,030	0,970	0,040
9	0,18	0,035	2,95	0,005	0,013	0,987	0,017
10	0,20	0,015	3,28	0,002	0,005	0,995	0,008
11	0,22	0,010	3,61	0,001	0,002	0,998	0,003
12	0,24	0,005	3,94	0,000	0,000	1,000	0,002

Графически теоретическое распределение изображено в виде кривой 3 на рис. II-2. Следует отметить, что полученные значения вероятностен, как и в примере 4, наносят на график со значениями абсцисс, соответствующими серединам интервалов.