§ 9. Исследование корреляци­онной зависимости

Корреляционный анализ применяют для установления влияния параметров изделия на его эксплуатационные пока­затели, для выявления функ­циональных показателей. Если между некоторыми случай­ными величинами наличие функциональной зависимости вызывает сомнение и в то же время можно предполагать, что наряду с различными случай­ными факторами для рассматриваемых величин имеется ряд общих факторов, производят исследование корреляционной зависимости. Целью исследования является оценка: силы случайной (стохасти­ческой) связи между величинами; формы связи (линейная или не­линейная).

Исследование стохастической связи между величинами, число которых больше двух, составляет предмет множественной корреля­ции. Рассмотрим корреляционную зависимость между двумя вели­чинами. Примерами такой зависимости могут служить зависимости между случайными величинами размеров двух деталей, обрабаты­ваемых одновременно на одном станке, между размерами отливок и моделей к ним и т. п.

Для исследования корреляционной зависимости между двумя случайными величинами х и у имеющуюся совокупность пар экс­периментальных данных удобно свести в табл. II-8 (корреляцион­ную сводку). В ней приведены частоты встречаемости пар зна­чений: и , а также суммарные значения и .

Важнейшими эмпирическими параметрами, характеризующими корреляционную связь, являются выборочный коэффициент кор­реляции и выборочные корреляционные отношения , :

, (II-34)

где - ковариация случайных величин х и у.

(II-35)

Таблица II-8

			…		…		Суммы
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…
Суммы

; ;

;

;

; . (II-36)

Здесь

;

. (II-37)

частное среднее величин х для ; — частное среднее ве­личин у для :

. (II-38)

. (II-39)

Коэффициент корреляции находится в пределах от -1 до +1. Чем ближе к +1, тем сильнее положительная линейная корре­ляционная связь (с возрастанием х возрастает и у); чем ближе к -1, тем сильнее отрицательная линейная связь (с возраста­нием х убывает у).

При значениях , близких к нулю, можно предполагать или наличие нелинейной корреляционной связи, или вообще отсутствие связи (некоррелированность величин х и у). В этом случае со­поставляют с и . Корреляционные отношения находятся в пре­делах от 0 до +1, при этом . Если корреляция точно линейна. Чем ближе к единице, тем корреляционная связь сильнее.

В случае линейной корреляционной связи:

. (II-40)

. (II-41)

Зависимости от и от приведенные в выражениях (II-40) и (II-41), называют прямыми регрессии соответственно х по у или у по х. Эти прямые прогнозируют соответственно о сред­нем значении возможных величин х при определенном значении у или о среднем значении возможных величин у при определенном значении х.

Таблица II-9

y, мкм	j	x, мкм					nj
		-2	-1	0	+1	+2
		i
		1	2	3	4	5
-2 -1 0 +1	1 2 3 4	4 9 4 2	- 7 11 5	10 13 8 6	7 12 16 2	12 11 - 1	33 52 39 16
ni		19	23	37	37	24	N = 140

Пример 15. Исследовать корреляционную зависимость между погрешностями х и у размеров толщины двух типов колец, обраба­тываемых одновременно на плоскошлифовальном станке, по дан­ным табл. II-9.

Решение.

;

Рассматривая полученные зна­чения , и , можно сделать вывод, что между величинами х и у имеется не очень сильно выражен­ная корреляционная зависимость; эта зависимость приближенно ли­нейна и отрицательна.

Определим уравнения прямых регрессии:

Указанные прямые построены на рис. П-5. Они пересекаются в точке с координатами и .