Задача №4

Определить среднее значение импульса линейного гармонического осциллятора в нормальном состоянии. Нормированная волновая функция этого состояния известна:

, где a= .

Решение

Как и в классической механике, в этом случае равны нулю, что и следовало ожидать из соображений симметрии функции относительно x.

Вариант №3 Задача №1

На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения изменяется. Когда этот угол делается равным 64, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200пм, определить длину волны де Бройля электронов и их скорость .

Решение

К расчету дифракции электронов от кристаллической решетки применяют уравнение Вульфа-Брегга, которое используется в случае рентгеновского излучения.

, k- порядковый номер дифракционного max, - длина волны де Бройля.

пм.

Задача №2

U(x) I II III E x 0 d рис 1

Электрон с энергией Е=4,9 эв движется в положительном направлении оси х (рис 1). Высота U=5 эв потенциального барьера. При какой ширине d барьера вероятность W прохождения электрона через него будет равна 0,2?

Решение

, потенцируем это выражение.

, изменим знак у правой и левой части этого равенства.

м=0,495нм.

Задача №3

В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол =90. Энергия рассеянного фотона равна 0,4 Мэв. Определить энергию фотона до рассеяния.

Решение

(1).

; ;

; где 0,51 Мэв,

=0,4Мэв, =90 .

1,85Мэв

Задача№4

Показать, что составляющие количества движения по осям декартовых координат операторы , , - коммутирующие операторы.

Решение

.

Собственные функции этих операторов удовлетворяют уравнениям:

где - собственные значения операторов.

Функция удовлетворяет всем этим трем уравнениям, т.е. является общей собственной функцией , , .

Это показывает, что проекции количества движется на все три оси координат могут иметь одновременно определенные значения. Это можно доказать.

; ; .

Аналогично .

Вариант № 4. Задача 1

Кинетическая энергия Т электронов в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные размеры атома.

Решение

∆х ∆  ђ²

∆х – неопределенность координаты.

∆ – неопределенность импульса.

Чем точнее определяется положение частицы, в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно и энергия частицы

ℓ – линейные размеры атома.

Электрон находится в пределах области с неопределенностью ∆х = ℓ / 2

Неопределенность импульса не должна превышать самого импульса.

Задача 2

Считая, что нуклон в ядре находится в трехмерном потенциальном ящике кубической формы (а₁ = а₂ = а₃ = а = 10^-14м) с непроницаемыми стенками. Оценить низший энергетический уровень нуклона в ядре. Масса покоя нуклона равна m_р = 1,67  10^-27кг.

Решение

Максимальное значение энергии, соответствующее минимальным значениям квантовых чисел, которые равны n₁ = n₂ = n₃ = 1

или

Такие значения энергии нуклонов в миллионы раз больше, чем энергия электронов в атомах. Поэтому в ядерных процессах выделяется энергия во много раз большая, чем при химических реакциях.

Задача 3

Фотон с энергией Е = 0,75 МэВ рассеялся на свободном электроне под углом  = 60 Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить

1. Энергию рассеянного фотона.

2. Кинетическую энергию Т электрона отдачи.

3. Направление его движения.

Решение

1)

2) По З.С.Э.

3) По З. С. И.

Где P = E / C и P^/ = E^/ / C

( ; ; ; )

(2)

Из (1)

или (3)

Заменим в (2) соотношение Е / Е^/ по (3)

и

Задача 4

Показать, что х^ и Р^_y коммутирующие операторы.

Решение