- •2. Теория деформаций
- •2.1. Определение линейной и сдвиговой деформации. Различные меры линейной деформации
- •2.2. Деформированное состояние точки. Тензор малых деформаций
- •2.3. Главные оси тензора деформаций. Главные деформации
- •3.4. Шаровой тензор и девиатор деформаций
- •2.5. Связь между перемещениями и малыми деформациями (геометрические уравнения)
- •2.6. Тензор скорости деформации
- •2.7. Разложение тензора скорости деформации на шаровой тензор и девиатор
- •2.8. Кинематические уравнения
- •2.9. Кинематически возможное поле скоростей в трубе, находящейся под действием внутренним давления
2.6. Тензор скорости деформации
Деформации линейные и сдвиговые изменяются во времени и для них, как и для любого процесса можно ввести понятие скорости.
Скорости деформации . Здесь - приращение деформации за малый промежуток времени . Размерность скорости деформации .
Компоненты тензора скорости деформации можно получить дифференцируя по времени компоненты тензора деформаций . Тензор скорости деформации будем обозначать . Тогда можно записать:
;
. (2.10)
На главной диагонали стоят скорости линейных деформаций - , , . Компоненты характеризуют скорости сдвиговой деформаций ( , , ), то есть скорости изменения углов между материальными волокнами. Тензор симметричный, то есть .
Тензор скорости деформации как любой симметричный тензор имеет главные скорости относительных удлинений , , , а также три взаимно перпендикулярных вектора, называемых направлениями главных скоростей удлинений.
Индексация главных скоростей удлинений (главных скоростей деформации) принята такой, что .
Тензор скоростей деформаций в главных скоростях деформации:
.
Эта запись означает, что деформацию материала в любой точке в единицу времени можно представить удлинением или укорочением по трем взаимно перпендикулярным направлениям главных скоростей деформации. На рис. 2.8 показан элементарный параллелепипед, ребра которого совпадают с направлениями главный скоростей деформаций.
Рис. 2.8. Элементарный параллелепипед, ребра которого совпадают с
направлениями главный скоростей деформаций
Порядок определения главных скоростей деформаций и их направлений аналогичен описанному ранее для напряжений и деформаций: по матрице (2.10) составляют инварианты
Инварианты являются коэффициентами характеристического уравнения:
.
Максимальный из корней уравнения будет , минимальный , средний - . Для определения направлений главных скоростей необходимо решить систему:
.
Подставив вместо значение , определим направляющие косинусы , определяющие положение главной оси 1. Подставив вместо значение , определим и т. д.
2.7. Разложение тензора скорости деформации на шаровой тензор и девиатор
Тензор скоростей деформаций можно разложить на 2 тензора: шаровой тензор и девиатор [4]:
;
.
Компоненты девиатора скорости деформации можно записать в виде:
.
Тогда компоненты тензора скорости деформации :
.
Шаровой тензор характеризует скорость изменения объема, а девиатор - скорость изменения формы.
- скорость относительного изменения объема:
.
- скалярная характеристика скорости деформации в точке.
Для несжимаемого материала:
.
Тогда компоненты тензора скорости деформации и девиатора совпадают, то есть:
.
Известным образом можно записать инварианты : ; ; . Важной скалярной характеристикой скорости деформации в точке является интенсивность скоростей деформации сдвига:
;
.
В тензорной записи: .
Если тензор задан в главных направлениях:
.
Тогда: .
Приращение деформации сдвига на малом этапе деформации за малый промежуток времени ( <0,1 c):
. (2.11)
Нас интересует вся пластическая деформация, накопленная материальной частицей, то есть степень деформации сдвига:
,
где n – количество этапов деформации.
При предельном переходе (при n→ ) с учетом (2.11) получим:
. (2.12)
Формула (2.12) позволяет определить всю накопленную материальной частицей деформацию за время деформирования . Интеграл в (2.12) вычисляется вдоль траектории движения материальной частицы. На малом этапе деформации .