- •2. Теория деформаций
- •2.1. Определение линейной и сдвиговой деформации. Различные меры линейной деформации
- •2.2. Деформированное состояние точки. Тензор малых деформаций
- •2.3. Главные оси тензора деформаций. Главные деформации
- •3.4. Шаровой тензор и девиатор деформаций
- •2.5. Связь между перемещениями и малыми деформациями (геометрические уравнения)
- •2.6. Тензор скорости деформации
- •2.7. Разложение тензора скорости деформации на шаровой тензор и девиатор
- •2.8. Кинематические уравнения
- •2.9. Кинематически возможное поле скоростей в трубе, находящейся под действием внутренним давления
2.3. Главные оси тензора деформаций. Главные деформации
Оси координат в данной точке можно направить разным образом. В частности можно определить такую тройку взаимно ортогональных волокон, которые при заданном тензоре в процессе деформации будут оставаться взаимно ортогональными. То есть сдвиговой деформации не будет. Такие оси будем называть главными, а их деформацию называют главными линейными деформациями. Площадки, на которых нет сдвига, называются главными.
Из условия, что на главных площадках отсутствуют сдвиги можно зависать систему линейных уравнений (по аналогии с напряженным состоянием) [11]:
. (2.1)
Здесь - главная линейная деформация. Верхние три уравнения из системы (2.1) можно решить относительно направляющих косинусов . Эта система из трех уравнений имеет нетривиальное решение если:
. (2.2)
При записи (2.2) учли симметричность , то есть .
Если раскрыть (2.2), то получим кубическое уравнение, называемое характеристическим многочленом:
. (2.3)
В этом уравнении ; ; - инварианты :
.
;
.
Здесь - главные линейные деформации, определяемые из решения (2.3).
Чтобы найти ориентировку волокон (главных осей 1, 2, 3 тензора ) с деформациями , , необходимо эти деформации поочередно подставить вместо в систему (2.1): 1) для определения подставляем вместо значение ; 2) для определения подставляем вместо значение ; 3) для определения подставляем вместо значение .
3.4. Шаровой тензор и девиатор деформаций
Тензор деформаций можно разложить на два тензора:
,
где - шаровой тензор; - девиатор тензора деформаций;
;
.
характеризует изменение объема частицы в данной точке, то есть всестороннее растяжение или сжатие. характеризует изменение формы в данной точке. - относительное изменение объема частицы;
.
Покажем, что соответствует изменению объема.
Рассмотрим деформацию материальной частицы в виде кубика (рис. 2.5).
а) б)
Рис. 2.5. Частица до (а) и после (б) деформации
В результате деформации ребра получили линейные деформации и их длина изменилась. Определим относительное изменение объема в результате деформации:
- относительное изменение объема;
- до деформации;
- после деформации;
.
Так как деформации малые, то произведениями малых величин можно пренебречь:
.
Тогда
2.5. Связь между перемещениями и малыми деформациями (геометрические уравнения)
На рис. 2.6 показано положение материальной точки до (А0) и после (А1) деформации.
Рис. 2.6. Положение точки до (А0) и после (А1) деформации:
- вектор, определяющий положение точки до деформации;
- вектор, определяющий положение точки после деформации
Перемещение - это разность между векторами и :
.
Запишем вектор перемещения в проекциях на оси координат , , : , ; , где - координаты после деформации, - координаты до деформации (рис. 3.3). Значения , , называют также компонентами вектора перемещений.
Если перемещения различных точек тела неодинаковы, то тело деформируется, то есть меняет свою форму и размеры. На рис. 2.7 показан плоский элемент до (A0B0C0D0) и после (A1B1C1D1) деформации.
Рис. 2.7. Деформация плоского элемента
Рассмотрим деформацию отрезка [5]. В результате деформации отрезок изменит длину и ориентацию. Относительная линейная деформация:
Точки А и D расположены на малом расстоянии друг от друга. Разложим перемещения в ряд Тейлора:
.
Подставим это в (2.4):
; ; . (2.5)
Вторую и третью формулы в (2.5) можно получить аналогично первой.
Рассмотрим сдвиговую деформацию . Из рис. 2.7 следует:
; (2.6)
→ .
Перемещения точек А и D будут отличаться на малую величину, так как они находятся близко друг от друга:
.
Подставим это выражение в (2.6) и учтем, что ; (рассматриваем малые деформации). Получим .
По аналогии можно определить . Таким образом
(2.7)
В других обозначениях:
. (2.8)
Выражения (2.5) и (2.5) называются геометрическими уравнениями. С использованием тензорных символов их коротко можно записать так:
. (2.9)