1.2. Работа с пакетом Control System Toolbox

Объекты и модели систем. Пакет Control System Toolbox позволяет создавать линейные модели систем автоматического управления и решать задачи анализа и синтеза линейных систем. Основной (родительской, класса LTI – Linear Time-Invariant Systems) программной единицей пакета Control System Toolbox является линейный стационарный объект (далее просто объект), который представляет собой линейное звено, описанное передаточной функцией с постоянными параметрами. Объект может являться моделью всей системы, ее части или отдельного элемента системы.

Дочерними объектами (подклассами класса LTI) являются объекты четырех различных моделей:

– объекты, представленные в tf-форме (в форме передаточной функции)

, ;

– объекты, представленные в zpk-форме (в форме перечисления значений нулей и полюсов и статического коэффициента усиления)

;

– объекты, представленные в ss-форме (в форме системы дифференциальных уравнений для переменных состояния)

;

– объекты, представленные в frd-форме (в форме вектора частот и соответствующих значений комплексного коэффициента передачи ).

Работа с объектами производится в основном рабочем окне MATLAB. Здесь мы рассмотрим работу с объектами в tf-форме, остальные формы представления объектов будут использованы по мере необходимости в последующих лабораторных работах.

Создание объекта в tf-форме. Пусть требуется создать объект с передаточной функцией вида

.

Примечание: переменная передаточной функции (оператор Лапласа) в MATHLAB обозначается буквой s; в отечественной литературе по теории автоматического управления ее чаще обозначают буквой p.

Для создания объекта используется функция tf (Transfer Function). Командная строка, создающая объект с именем name, имеет следующий вид:

name=tf([b₀ b₁ b₂ … b_m],[a₀ a₁ a₂ … a_n])

Имя объекта задается произвольно по тем же правилам, что имена обычных

переменных. В качестве аргументов функции tf задаются массив коэффициентов числителя b₀, b₁,…, b_m и массив коэффициентов знаменателя передаточной функции a₀, a₁,…, a_n. Коэффициенты задаются в квадратных скобках через пробел или запятую. Массив коэффициентов числителя содержит m+1 коэффициент, а массив коэффициентов знаменателя n+1 коэффициент. На месте отсутствующих коэффициентов записывается 0.

Рассмотрим пример создания объектов.

Пример 9. Создание объектов с помощью функции tf.

Комментарии к вычислениям:

Если в конце строки не поставлена точка с запятой, то будет выведен результат – передаточная функция.

Здесь второй порядок знаменателя и равен нулю коэффициент a₁.

Здесь первый порядок знаменателя и равен нулю коэффициент a₁.

Операции над объектами. Данные операции производят объединение нескольких объектов в один объект. С их помощью можно получить передаточную функцию системы по известным передаточным функциям ее элементов.

Последовательное соединение объектов (рис. 12) реализуется с помощью операции умножения: .

Рис. 12. Последовательное соединение объектов

Для приведенных выше передаточных функций получим

.

Отметим, что этот же результат может быть получен с помощью функции series в виде

.

Параллельное соединение объектов (рис. 13) реализуется с помощью операции сложения: .

Рис. 13. Параллельное соединение объектов

Для приведенных выше передаточных функций получим

.

Отметим, что этот же результат может быть получен с помощью функции parallel в виде

.

Охват объекта отрицательной обратной связью (рис. 14)

Рис. 14. Охват объекта отрицательной обратной связью

реализуется выражением

и выполняется с помощью функции feedback:

W=feedback(W1,W2).

Для приведенных выше передаточных функций получим

.

Пример 10. Создание модели автоматической системы.

Дана структурная схема автоматической системы (рис. 15). Необходимо создать ее модель в Control System Toolbox.

Рис. 15. Структурная схема автоматической системы

Комментарии к вычислениям:

Создаем объекты для каждого звена.

Формируем объект sys – модель всей системы.

Передаточная функция системы выводится в командное окно.

Для сложных систем получение передаточной функции производится путем последовательного применения допустимых структурных преобразований, приводящих к одноконтурному представлению системы, и получения промежуточных передаточных функций, из которых итоговая передаточная функция получается применением приведенных преобразований.

Пример 11. Пусть имеем автоматическую систему управления устройством электрической тяги, операторное представление структурной схемы которой показано на рис. 16.

Рис. 16. Система управления скоростью электропривода

Определим передаточную функцию системы . Последовательность и получаемый результат вычислений приведены ниже:

>> B1=[10];

A1=[1 1];

Sys1=tf(B1,A1);

B2=[1];

A2=[2 0.5];

Sys2=tf(B2,A2);

B3=[540];

A3=[1];

Sys3=tf(B3,A3);

B4=[0.1];

A4=[1];

Sys4=tf(B4,A4);

Sys5=series(Sys1,Sys2);

Sys6=feedback(Sys4,Sys5);

Sys7=Sys3*Sys6;

Sys=feedback(Sys7,[1])

Transfer function:

108 s^2 + 135 s + 27

------------------------

110 s^2 + 137.5 s + 28.5

Полученная передаточная функция имеет второй порядок, причем собственная частота системы

,

а коэффициент затухания

,

т.е. собственные движения системы носят устойчивый слабоколебательный характер (система работоспособна).

Построение основных характеристик объекта. Создав объект с определенной структурой и параметрами, можно исследовать различные характеристики объекта. Графики характеристик строятся в специальных графических окнах. Рассмотрим способы получения основных временных и частотных характеристик (табл.3 – 6).

Таблица 3

Исследование переходной функции и весовой функции

Команда	Комментарий
step(w) impulse(w)	Построение переходной функции (step) и весовой функции (impulse) функции объекта w. Время моделирования определяется автоматически.
step(w,t) impulse(w,t)	Построение переходной (весовой) функции объекта w на заданном отрезке времени от 0 до t (где t – это константа или переменная); t также можно задавать как массив вида 0:dt:tmax, где tmax – время окончания моделирования, dt – шаг расчета переходной функции (должен быть достаточно малым).

Окончание табл. 3

step(w1,w2,…,wn) impulse(w1,w2, …,wn)	Построение переходной (весовой) функции нескольких объектов на одной координатной плоскости.
step(w1,w2,…,wn,t) impulse(w1,w2, …,wn,t)	То же с заданием времени моделирования.

Таблица 4