Вопрос18
Лемма 1: интеграл по верхней полуокружности , при , если
Доказать: Уравнение полуокружности: ; Вычислить этот интеграл невозможно, но его можно оценить. Так как , то для любой положительной величины существует такое число , что в окрестности справедливо следующее утверждение . Иными словами, если , то и поэтому
Это и означает, что при , величина может быть сколь угодно малым числом , поэтому .
Вопрос19
Лемма 2(лемма Жордан):интеграл по верхней полуокружности вида , где . Данный интеграл стремится к 0 при , если функция , при , причем движение по равномерно и . Доказать:
Доказательство: Так как по условию , то для любого существует некоторое число , такое, что , то , это справедливо для всех , которые лежат в интервале . Уравнение полуокружности: ;
Таким образом если: 1) функция на действительной оси не имеет особых точек.
2) в верхней полуокружности имеет конечное число особых точек .
3) , то
Вопрос20
– некоторая рациональная функция, зависящая от синуса и косинуса и являющаяся конечной внутри интервала . В этом случае интеграл вычисляется с помощью замены .
Вопрос21
Операционное исчисление. Под операционным исчислением понимают методы решения задач, которые основаны на следующей схеме: В высшей математике операционные исчисления понимаются для решения дифференциальных уравнений. преобразованием Лапласа функции действительной переменной называется функция комплексного переменного , которое определяется следующей формулой:
Данный интеграл называется интегралом Лапласа, – комплексная переменная. Комплексные переменные обладают более широкими свойствами.
Для того, чтобы интеграл Лапласа сходился, функция должна удовлетворять 3 условиям:
1) функция должна быть кусочно-непрерывной, и данной функции разрешено иметь только разрывы 1 рода.
2) значение функции для любого значения , .
3) множитель - затухающая экспонента, поэтому функция должна расти не быстрее, чем функция .
Любую функцию , удовлетворяющую этим 3 условиям, называют оригиналом, а функцию называют изображением по Лапласу. ----для любого оригинала , изображение определено в полуплоскости , где – это так называемый показатель роста функции и данное изображение является в этой полуплоскости аналитической функцией
ВоПрос22
Основные свойства преобразований Лапласа. 1) Свойство подобия: Если , то для любого положительного числа функция Доказательство: 2) Свойство смещения: Если , то функция, полученная в результате перемножения оригинала на , 3) Свойство запаздывания: Если , то функция Если , то , следовательно .
Доказательство:
4) Свойство дифференцирования оригинала: Если , то для 5) Свойство дифференцирования изображения:
Если , то То есть дифференцированию изображения соответствует умножение оригинала на
Согласно теореме о существовании изображения, изображение является аналитическим в плоскости, которая , следовательно у изображения существует производная
6) Свойство интегрирования оригинала: Если , то Интегрированию оригинала от до соответствуетделение его изображения на . Если , то данный интеграл будет являться оригиналом. Поэтому . Тогда, по свойству дифференцирования оригинала, . С другой стороны , значит . То есть . 7) свойство интегрирования изображения:Если , и сходится, то . То есть интегрированию изображения от до соответствует деление его оригинала на . 8) Свойство умножения изображения:
Если , а , то производная 9) Свойство свертки: Свертка обладает свойством переместительности, то есть , 10) Формула Дюамеля:
Если и производная также является оригиналом, то
Переход осуществляется через свертку.
11) Свойство умножения оригинала: Если
ВОПРОС***
Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методам.
Рассмотрим решение дифференциальных уравнений операционным методам. Пусть функция , тогда по теореме о дифференцировании оригинала
Таком образом, исходное дифференциальное уравнение запишется в операторном виде
После нахождения необходимо вернуться к . Для этого необходимо воспользоваться алгоритмом, приведенным в предыдущем параграфе.