Задача № 6

Имеются сведения о среднем размере земельного участка крестьянского (фермерского) хозяйства – N_t, га, за период с 1998 по 2006 год (на конец года) в Российской Федерации.

Годы	Nt	Годы	Nt
1998	42	2003	54
1999	44	2004	62
2000	47	2005	67
2001	48	2006	75
2002	50

Задание:

1. Постройте график фактических уровней динамического ряда - N_t

2. Рассчитайте параметры уравнения линейного тренда

3. Оцените полученные результаты:

• с помощью показателей тесноты связи ( r и r² );

• значимость модели тренда (F -критерий);

• качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -

4. Выполните прогноз до 2008 года, рассчитайте ошибки прогноза, доверительный интервал прогноза и оцените его точность.

5. Проанализируйте полученные результаты.

Решение:

1. Построим график фактических уровней динамического ряда - W_t

2. Рассчитаем параметры уравнения линейного тренда

Параметры линейного тренда «а₀», «а₁» рассчитываются с помощью решения системы уравнений:

n* а₀ + а₁* t = y

а₀ * t + а₁* t² = ty

Для этого построим вспомогательную таблицу:

t	y	y*t	t2
1	42	42	1
2	44	88	4
3	47	141	9
4	48	192	16
5	50	250	25
6	54	324	36
7	62	434	49
8	67	536	64
9	75	675	81
Σ=45	489	2682	285

`

9 * а₀ + а₁* 45 = 489

а₀ * 45 + а₁* 285 = 2682

Решив систему уравнений, получим:

y = 3,95* t + 34,583

График этой функции:

3. Оценим полученные результаты:

• с помощью показателей тесноты связи (η и η²);

• значимость модели тренда через F -критерий;

• качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -

Для определения тесноты связи воспользуемся формулой:

Построим вспомогательную таблицу:

y выров	Уфак-Уср	(Уфак-Уср)2	Уфак-Увыров	(Уфак-Увыр)2
38,5	-12,33	152,11	3,47	12,02
42,5	-10,33	106,78	1,52	2,30
46,4	-7,33	53,78	0,57	0,32
50,4	-6,33	40,11	-2,38	5,68
54,3	-4,33	18,78	-4,33	18,78
58,3	-0,33	0,11	-4,28	18,35
62,2	7,67	58,78	-0,23	0,05
66,2	12,67	160,44	0,82	0,67
70,1	20,67	427,11	4,87	23,68
	Σ	1018,0		81,9

__________

 =  81,9 / 1018 = 0,284

Коэффициент детерминации ²_ylnx = 0,284² = 0,08, это означает, что 8% всего разброса значений переменной Y (зависимой переменной) объясняется нашей моделью (уравнением регрессии), а 92% осталось не объяснено.

F-критерий:

F_расч. = ² (n – m) / (1 – ²)(m – 1) = 0,08 * (9-2) / (1-0,08)(2-1) = 0,61

При числе уровней свободы k₁ = m = 2 и k₂ =n-m-1 = 9 – 2 – 1 = 6, и уровне критерия значимости равном  = 0,05 по таблице Фишера значение F-критерия должно быть не ниже 5,14 чтобы связь могла считаться существенной. Но в данном случае: 0,61 < 4,74. То есть корреляция факторов является случайностью с вероятностью 95 %.

4. Выполним прогноз до 2003 года. Подставляя следующие года в уравнение регрессии получим:

Годы	y вырав
2000	67
2001	75
2002	74,1
2003	78,0

5. Анализ полученных результатов:

Возможно, не имеет смысла проводить дальнейший анализ уровней ряда, т.к. выбранная модель регрессии не удовлетворяет критериям точности, либо в уровнях исследуемого ряда отсутствует связь.