Задача № 3
Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических показателей в регионе используется статистическая информация за 2006 год по территориям Центрального федерального округа.
Y1 - Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;
Y2 – Стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.;
X1 - Инвестиции прошлого, 2005, года в основной капитал, млрд. руб.;
X2 – Кредиты прошлого, 2005, года, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.
X3 – Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.
Рабочие гипотезы:
Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа.
При обработке исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений - σ:
n = 15.
Для проверки рабочей гипотезы №1. Для проверки рабочей гипотезы №2.
|
Y1 |
X1 |
X2 |
|
Y2 |
|
X3 |
Y1 |
1 |
0,6631 |
0,7477 |
Y2 |
1 |
0,7863 |
0,7337 |
X1 |
0,6631 |
1 |
0,4747 |
|
0,7863 |
1 |
0,6177 |
X2 |
0,7477 |
0,4747 |
1 |
X3 |
0,7337 |
0,6177 |
1 |
Средняя |
115,83 |
0,1615 |
3,75 |
Средняя |
23,77 |
115,83 |
0,570 |
|
30,0303 |
0,1400 |
1,6836 |
|
7,2743 |
30,0303 |
0,1160 |
Задание:
1. Составьте систему уравнений в соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами.
2. Определите вид уравнений и системы.
3. На основе приведённых в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:
определите бета коэффициенты () и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;
дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;
рассчитайте параметры a1, a2 и a0 уравнений множественной регрессии в естественной форме;
с помощью коэффициентов парной корреляции и -коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации (R2);
оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.
4. Выводы оформите краткой аналитической запиской.
Решение:
1. В соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами о связи признаков составим систему уравнений:
2. Особенность данной системы в том, что в первом уравнении факторы представлены перечнем традиционных экзогенных переменных, значения которых формируются вне данной системы уравнений. Во втором уравнении в состав факторов входит эндогенная переменная Y1, значения которой формируются в условиях данной системы, а именно, в предыдущем уравнении. Системы уравнений, в которых переменные первоначально формируются как результаты, а в дальнейшем выступают в качестве факторов, называются рекурсивными. Именно с подобной системой уравнений имеем дело в данной задаче.
3. Выполним расчёт -коэффициентов и построим уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Для уравнения №1:
По полученным результатам построим уравнение в стандартизованном виде:
Это означает, что инвестиции прошлого года в основной капитал ( ) влияют на стоимость основных фондов в экономике ( ) слабее, чем кредиты прошлого года ( ).
Второе уравнение можно построить на основе следующих результатов:
Второе уравнение в стандартизованной форме имеет вид:
.
Из второго уравнения, видно, что на уровень ВРП более сильное влияние оказывает стоимость основных фондов, и менее сильное – среднегодовая численность занятых в экономике.
Рассчитаем параметры уравнения регрессии в естественной форме:
= 115,83 – 85,3*0,16 – 9,97*3,75 = 64,67.
По полученным результатам построим уравнение №1 в естественной форме:
.
Параметры уравнения №2 рассчитываются аналогичным образом. Но главная отличительная особенность их расчёта в том, что в качестве одного из факторов выступают не фактические значения , а его теоретические значения , полученные расчётным путём при подстановке в уравнение №1 фактических значений факторов и .
Указанным способом рассчитаны параметры рекурсивного уравнения:
; ;
.
По полученным результатам построено уравнение №2 в естественной форме:
.
Представим результаты построения уравнений в виде рекурсивной системы:
Значения коэффициентов регрессии каждого из уравнений могут быть использованы для анализа силы влияния каждого из факторов на результат. Но для сравнительной оценки силы влияния факторов необходимо использовать либо значения -коэффициентов, либо средних коэффициентов эластичности - , , и .
Для каждого из уравнений системы рассчитаем показатели корреляции и детерминации.
.
R2 = 0,8262 = 0,682
R2 = 0,8472 = 0,718
В первом уравнении факторы и объясняют 68,2% вариации стоимости основных фондов, а 31,8% его вариации определяется влиянием прочих факторов.
Во втором уравнении переменные и объясняют 71,8% изменений валового регионального продукта, а 28,2% изменений заработной платы зависят от прочих факторов.
Обе регрессионные модели выявляют тесную связь результата с переменными факторного комплекса.
Оценим существенность выявленных зависимостей. Для этого сформулируем нулевые гипотезы о статистической незначимости построенных моделей и выявленных ими зависимостей:
и .
Для проверки нулевых гипотез используется F-критерий Фишера. Выполняется расчёт его фактических значений, которые сравниваются с табличными значениями критерия:
;
Сравниваем с : для и =0,05 составляет 3,88.
В силу того, что нулевую гипотезу о статистической незначимости характеристик уравнений следует отклонить. Отклоняя нулевую гипотезу, допустимо (с определённой степенью условности) принять одну из альтернативных гипотез. В частности, может быть рассмотрена и принята гипотеза о том, что параметры моделей неслучайны, то есть формируются под воздействием представленных в моделях факторов, влияние которых на результат носит систематический, устойчивый характер. Это означает, что полученные результаты могут быть использованы в аналитической работе и в прогнозных расчётах среднемесячной заработной платы и стоимости валового регионального продукта, которые основаны не только на влиянии , но и на влиянии эндогенной переменной Рекурсивные модели связей предоставляют возможность подобного анализа и прогноза.