3) В предыдущем замечании было показано, что условие (наряду с другими) является достаточным для:

а) однозначной локальной разрешимости уравнения относительно хотя бы одной переменной при фиксированной другой переменной;

б) однозначного локального проектирования множества нулевого уровня функции хотя бы на одну из координатных осей.

Однако условие не является необходимым для однозначной локальной разрешимости (для однозначного локального проектирования).

Для иллюстрации рассмотрим функцию

Имеем:

и в точке

Уравнение (уравнение эквивалентно уравнению т.е. в любой окрестности точки это уравнение однозначно локально (а также глобально) разрешимо относительно переменной при фиксированной переменной

Множество нулевого уровня функции представляет собой горизонтальную прямую, проходящую через точку на оси (рис. 8.18). Эта прямая, конечно, однозначно проектируется на ось

Этот простой пример показывает, что в случае

может быть однозначная локальная разрешимость уравнения относительно хотя бы одной переменной при фиксированной другой переменной (однозначное локальное проектирование множества нулевого уровня функции хотя бы на одну из координатных осей).

4) Точка множества нулевого уровня функции называется особой, если и обыкновенной (регулярной), если

Теорема о неявной функции (см. раздел 8.7.4) утверждает, что в окрестности обыкновенной точки множество нулевого уровня функции есть линия, которая однозначно локально проектируется хотя бы на одну из координатных осей.

В окрестности особой точки множество нулевого уровня функции может быть линией, которая однозначно локально проектируется хотя бы на одну из координатных осей (см. замечание 3) этого раздела), а может иметь достаточно сложную структуру, которая в принципе не допускает однозначного локального проектирования хотя бы на одну из координатных осей (см. замечание 2) этого раздела).

5) Пусть функция имеет в окрестности точки все частные производные, необходимые для проведения ниже приводимых преобразований.

Тогда вторую производную неявной функции можно выписать, используя формулу для производных сложной функции где а также первые и вторые частные производные функции

Здесь

В приведённой длинной выкладке существенными являются два момента:

а) Используя правило выписывания производной сложной функции (см. раздел 8.3.9), имеем:

аналогично расписываем

б) используем формулу

8.7.9 Примеры

1) Найдём при производную неявной функции задаваемой уравнением Здесь

Имеем

для получим

Уравнение касательной

в точке к линии задаваемой уравнением выглядит так или (см. рис. 8.19).

В этом примере неявная функция имеет вид:

Найдём при вторую производную неявной функции

Имеем:

Подставляя в последнее выражение получаем

2) Найдём при производную неявной функции задаваемой уравнением Здесь

Имеем:

для получим

Уравнение касательной

в точке к линии задаваемой уравнением выглядит так:

и ли (после подстановки и необходимых сокращений)

(рис. 8.20).

В этом примере неявная функция имеет вид: Её производная, найденная в «лоб», выглядит так:

и

Найдём при вторую производную неявной функции

Имеем:

Подставив в последнее выражение получим

Вторая производная, найденная в «лоб», имеет вид:

и

8.7.10 Теорема.

Пусть функция определена и имеет конечную производную в окрестности точки Пусть и (либо либо и Тогда существует такая окрестность точки что в этой окрестности существует единственная обратная (относительно функции функция которая дифференцируема в и такая, что и для всех справедливо равенство

в частности

8.7.11 Эта теорема о существовании и дифференцируемости обратной функции. Она представляет собой частный случай первой теоремы о неявной функции (см. раздел 8.7.4).

8.7.12 Доказательство теоремы раздела 8.7.10.

Положим тогда Функция дифференцируема в полосе ибо в этой полосе она имеет непрерывные частные производные по переменным и

Следовательно, функция дифференцируема в (см. рис. 8.21).

Далее имеем

Таким образом, из условий теоремы раздела 8.7.10 следует, что для функции выполнены все условия теоремы 1 о неявной функции (см. раздел 8.7.4). Поэтому существуют числа что для любого числа существует единственное значение такое, что

т.е. существует единственная функция которая, в частности, такова, что

и

Возвращаясь к старым переменным получаем, что существует единственная обратная функция такая, что и

для всех

Обратим внимание, что на рис. 8.21 оси и расположены иначе, чем на рис. 8.14.

Теорема 8.7.10 доказана.

8.7.13 Теорема (теорема 2 о неявной функции)

Пусть функция

1) дифференцируема в ( мерной) окрестности точки

2)

3)

4) и непрерывна в точке

Тогда существуют числа что для любого вектора из мерной окрестности точки существует единственное значение такое, что

т.е. существует единственная функция которая

а) удовлетворяет условию

для всех

б) для всех

в)

г) дифференцируема (и, значит, непрерывна) в

и

т.е.

Доказательство этой теоремы является необязательным и поэтому не приводится.

Теорема даёт достаточное условие однозначной локальной разрешимости уравнения относительно переменной при фиксированных остальных переменных Теорема представляет собой нелинейное локальное обобщение факта однозначной глобальной разрешимости линейного уравнения относительно переменной при фиксированных остальных переменных Достаточным условием такой однозначной локальной разрешимости является условие (общением, которого является условие 4) теоремы). Действительно, при уравнение имеет единственное решение:

8.7.14 Геометрическая интерпретация теоремы раздела 8.7.13. Эта теорема даёт достаточное условие однозначного локального проектирования на координатную мерную плоскость множества нулевого уровня функции Теорема раздела 8.7.13 представляет собой нелинейное локальное обобщение факта однозначного глобального проектирования на координатную мерную плоскость всего множества нулевого уровня линейной функции

Действительно, при уравнение

можно переписать в виде:

Это есть уравнение невертикальной (относительно оси мерной плоскости, которая, естественно вся проектируется на координатную мерную плоскость однозначно.

В следующем разделе (разделе 8.7.15) дана наглядная геометрическая интерпретация теоремы раздела 8.7.13 при и Участок множества нулевого уровня функции представлен на рис. 8.22а, невертикальная плоскость, имеющая уравнение

представлена на рис. 8.22б.

Из теоремы раздела 8.7.13 вытекает, что участок множества нулевого уровня функции (множество есть мерная поверхность в мерном пространстве переменных состоящий из точек, близких к точке представляет собой график неявной функции который, естественно однозначно проектируется на мерную координатную плоскость

Невертикальная (относительно оси касательная мерная плоскость к этому графику в точке имеет такое уравнение:

где

Выразив в уравнении касательной плоскости частные производные неявной функции через частные производные функции и выполнив элементарные аналитические преобразования, получим уравнение касательной мерной плоскости к множеству нулевого уровня функции в точке

где

Из этого уравнения следует, что ортогонален касательной плоскости т.е. ортогонален множеству нулевого уровня в точке

8.7.15 Дадим наглядную геометрическую интерпретацию теоремы раздела 8.7.13 для и См. рис. 8.22а (и рис. 8.22б), который поясняется следующим образом. Открытый шар радиуса с центром в точке это открытый шар радиуса с центром в точке это Открытый круг радиуса с центром в точке в координатной плоскости – это «Язычок» в цилиндре – это участок множества нулевого уровня функции который попал в и который «нависает» над Мы видим, что этот «язычок» однозначно проектируется на т.е. любая вертикальная прямая, проходящая через любую точку протыкает «язычок» ровно в одной точке Этот «язычок» и есть график неявной функции такой, что а

8.7.16 Теорема (теорема 3 о неявных функциях). Пусть все функции набора

1) дифференцируемы в

2)

3)

линейно независимы;

4)

и все частные производные

непрерывны в точке Тогда существуют числа такие, что для любого набора существуют единственные такие, что

т.е. существует функций которые

а) удовлетворяют условию для всех

б)

в)

г) дифференцируемы в и их первые дифференциалы определяются в результате решения следующей системы линейных (относительно алгебраических уравнений:

где

Доказательство теоремы необязательно и поэтому не приводится.

Теорема даёт достаточное условие однозначной локальной разрешимости системы уравнений

относительно переменных при фиксированных переменных

Теорема представляет собой нелинейное локальное обобщение факта однозначной глобальной разрешимости системы линейных уравнений

относительно переменных при фиксированных переменных Достаточным условием однозначной разрешимости является уравнение:

(обобщением которого является условие 4) теоремы). Действительно, система линейных уравнений

имеет единственное решение при фиксированных значениях переменных которое в векторной форме можно переписать так:

где

обратная относительно матрицы

8.7.17 Замечания.

1) Определитель

принято называть определителем Якоби или якобианом.

2) Теорема раздела 8.7.16 есть обобщение теоремы раздела 8.7.13. В случае теоремы раздела 8.7.13 якобиан есть частная производная в которой функция переменной имеет вид

8.7.18. Геометрическая интерпретация теоремы раздела 8.7.16.

Эта теорема даёт достаточное условие однозначного локального проектирования на координатную мерную плоскость мерного пересечения («штук») мерных множеств нулевого уровня функций Теорема раздела 8.7.16 представляет собой нелинейное локальное обобщение факта однозначного глобального проектирования на координатную мерную плоскость мерного пересечения («штук») мерных плоскостей, каждая из которых описывается одним из линейных уравнений системы

Действительно, так как определитель матрицы

нулю не равен, ранг линейного многообразия решений системы линейных уравнений с переменными равен и это линейное многообразие решений описывается с помощью системы уравнений (приведённой в конце раздела 8.7.16 в векторной форме)

откуда следует, что всё линейное многообразие решений проектируется на координатную мерную плоскость однозначно.

Из теоремы раздела 8.7.16 следует, что участок мерного множества принадлежащий пересечению мерной окрестности точки и цилиндра

есть пересечение («штук») мерных множеств нулевого уровня функций и в то же время есть пересечение («штук») мерных цилиндрических поверхностей, порождаемых графиками функций в координатных подпространствах

мерное касательное линейное многообразие к мерному множеству в точке есть пересечение («штук») мерных касательных плоскостей в точке к множествам нулевого уровня функций Следовательно, мерное касательное линейное многообразие к мерному множеству в точке описывается следующей системой («штук») линейных алгебраических уравнений:

где