8.7.5 Геометрическая интерпретация теоремы раздела 8.7.4

(рис. 8.14 и 8.15)

Теорема раздела 8.7.4 даёт достаточное условие однозначного локального проектирования на ось множества нулевого уровня функции Пример раздела 8.7.2 показывает, что даже в случае достаточно простой функции однозначного глобального проектирования на ось множества нулевого уровня функции может не быть. Теорема раздела 8.7.4 представляет собой нелинейное локальное обобщение факта однозначного глобального проектирования на ось всего множества нулевого уровня линейной функции Действительно, при уравнение можно переписать в виде Это уравнение невертикальной прямой, которая, естественно, вся проектируется на ось однозначно (см. рис. 8.14б).

это линия нулевого уровня функции т.е. По линии пересекаются график который имеет уравнение и координатная плоскость которая имеет уравнение откуда и получаем уравнение линии Участок линии который попадает в прямоугольник с центром в точке есть график (неявной) функции существование и единственность которой устанавливает теорема 8.7.4.

Обратим внимание, что на промежуток оси проектируются два участка линии которые расположены в полосе Например, в точку проектируется две точки: точка и точка Однако если взять только тот участок линии который состоит из точек, близких к точке то мы имеем его однозначное проектирование на ось Теперь в точку проектируется только одна точка которая является близкой точке Точку не следует принимать во внимание, ибо она расположена далеко от точки

Рис. 8.14 и 8.15 хорошо геометрически интерпретируют однозначную локальную разрешимость уравнения относительно переменной при фиксированной переменной Действительно, если то получаем уравнение относительно переменной Это уравнение однозначно разрешимо: его корень равен При этом, естественно и точка является близкой к точке Для точки также выполняется равенство но точка находится далеко от точки и поэтому не рассматривается. Когда точка пробегает промежуток точка заметает (от слова «метла») тот участок линии который содержат точки, близкие к точке

8.7.6 Уравнение касательной к графику функции в точке (см. Рис. 8.14) имеет, как известно (см. Разделы 4.3.2 и 4.3.3), вид

Заменив её значением

получим уравнение касательной к множеству нулевого уровня функции в точке

которые можно толковать как равенство нулю скалярного произведения векторов: вектора и вектора с координатами и Из равенства нулю скалярного произведения вытекает, что эти векторы ортогональны.

Геометрической интерпретацией вектора является направленный отрезок, началом которого является точка а концом точка Эти точки принадлежат касательной следовательно, направленный отрезок также принадлежит касательной Из того, что направленный отрезок ортогонален градиенту, вытекает, что градиент и касательная в точке к множеству нулевого уровня функции взаимно ортогональны (рис. 8.16). Установлен фундаментальный факт математического анализа.

Этот результат существенно опирается на условия, которые фигурируют в первой теореме о неявной функции, формулировка которой приведена в разделе 8.7.4.

В место множества нулевого уровня можно взять множество произвольного уровня функции Этот более общий случай сводится к случаю множества нулевого уровня с помощью простого введения новой функции Множество нулевого уровня функции есть множество уровня функции

Для функции выполнены все условия теоремы раздела 8.7.4, если условия выполнены для функции

8.7.7 Если в теореме 1 о неявной функции (см. раздел 8.7.4) условие 4) заменить условием: и непрерывна в точке то в заключительно части этой теоремы речь пойдёт о существовании единственной (неявной) функции для которой выполнены условия, аналогичные условиям а) – г), в частности производная функции определяется по формуле

8.7.8 Замечания.

1) Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Первая теорема о неявной функции (см. раздел 8.7.4) даёт достаточные условия существования и единственности этой неявной функции (или см. раздел 8.7.7). Однако отсюда не следует, что имея аналитические выражения для функции мы непременно будем иметь аналитическое выражение и для функции т.е. может быть такая ситуация, что функция существует и единственная, однако аналитически она не описывается (она как бы не наблюдаема аналитически). Первая теорема о неявной функции утверждает, что первая производная неявной функции обязательно аналитически наблюдаема, ибо она равна дроби (со знаком минус) частных производных исходной функции

Это выражение является полезным и тогда, когда функция аналитически наблюдаема, но имеет достаточно сложное аналитическое представление.

2) Среди условий теоремы о неявной функции (см. раздел 8.7.4) особо отличим условия 3) и 4) (или вариант условия 4), приведённые в разделе 8.7.7):

Если если непрерывна в точке та (первая) производная, которая не равна нулю в этой точке, и если выполнены все остальные условия теоремы о неявной функции, то:

а) в достаточно малой окрестности точки уравнение однозначно (локально) разрешимо относительно хотя бы одной переменной при фиксированной другой переменной (аналитическое толкование результата теоремы о неявной функции);

б) в достаточно малой окрестности точки множество нулевого уровня функции есть линия, которая однозначно (локально) проектируется хотя бы на одну из координатных осей (геометрическое толкование результата теоремы о неявной функции).

Если то может не быть:

а) однозначной локальной разрешимости уравнения относительно хотя бы одной переменной при фиксированной другой переменной;

б) однозначного локального проектирования множества нулевого уровня функции хотя бы на одну из координатных осей.

Для иллюстрации последнего обстоятельства рассмотрим функцию

Имеем:

в точке

Уравнение (уравнение эквивалентно следующей паре уравнений и т.е. в любой окрестности точки при фиксированной одной переменной мы обязательно получаем два различных значения другой переменной, т.е. здесь в принципе нет однозначной локальной разрешимости относительно хотя бы одной переменной при фиксированной другой переменной.

Множество нулевого уровня функции представляет собой пару взаимно перпендикулярных прямых (рис. 8.17), которые пересекаются в точке и которые представляют собой биссектрисы (первого и третьего) и (второго и четвёртого) координатных углов плоскости (уравнение этих биссектрис соответственно суть и т.е. здесь в принципе нет однозначного локального проектирования множества хотя бы на одну из координатных осей.