1.19. Формула Бернулли

Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении вероятности того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз. Обозначается это - .

Теорема 1.4. Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а вероятность его не появления q =1-p, то вероятность того, что событие А произойдет m раз определяется формулой Бернулли

(1.20)

Можно заметить, что вероятности являются коэффициентами при в разложении по формуле бинома Ньютона:

- биномиальный закон распределения вероятностей, а - производящая функция для последовательности независимых опытов.

Если в каждом из независимых испытаний вероятности наступления события А разные, то вероятность того, что событие А наступит m раз в n испытаниях, равна коэффициенту при m –ой степени многочлена – производящей функции: .

ПР. Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятность попадания при разных выстрелах одинаковы и равны .

Какова вероятность: а) промаха, б) одного (2) попаданий, в) трех попаданий? Решить задачу в случае если вероятности попадания при разных выстрелах различны: 0,7;0,8;0,9.

Результаты можно изобразить графически, отложив по оси Ох значения m, а по Оу – значения . Ломанная соединяющая точки называется многоугольником распределения.

Если вероятности при разных выстрелах различны, то производящая функция имеет вид: .

1.21.Предельные теоремы схемы Бернулли

Использовать формулы Бернулли при большом количестве опытов и при малой вероятности успеха вызывает большие затруднения. Существуют приближенные формулы дающие малую погрешность при большом количестве испытаний. Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие так называемые асимптотические формулы для вычисления биномиальной вероятности при .

Теорема 1.5. Если число испытаний неограниченно увеличивается ( ) и вероятность р наступления А в каждом испытании неограниченно уменьшается( ), но так, что их произведение np является постоянной величиной ( ), то вероятность ,удовлетворяет предельному равенству (1.21)

Из предельного равенства (1.21) при больших n и малых p вытекает приближенная формула Пуассона: (1.22)

Формула (1.22) применяют, когда вероятность успеха крайне мала, т.е. сам по себе успех является редким событием, но количество испытаний n велико, среднее число успехов незначительно. . Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания.

ПР. Вероятность брака при изготовлении некоторого изделия равна 0,02. Найти вероятность того, что среди 200 произведенных изделий не более одного бракованного.

Решение. , .

Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

ОПР. Последовательность событий, наступающих в случайные, заранее неизвестные моменты времени называют потоком событий.

Часто встречаются задачи, связанные с изучением распределения некоторых событий на данном промежутке времени. Например, на станцию скорой помощи в среднем за час поступает k вызовов. Какова вероятность, что за данную минуту поступит m вызовов? Наладчик обслуживает группу станков. За смену в среднем случается к неполадок. Какова вероятность, что в течении часа произойдет m неполадок?

Поток событий называется простейшим (пуассоновским),если он обладает следующими свойствами:

1. Cв-во стационарности: вероятность появления k событий на участке времени длины зависит только от его длины (и не зависит от начала отсчета). Следовательно, среднее число событий, появляющихся в единицу времени, так называемая интенсивность потока, есть величина постоянная .

2. Св-во отсутствия последствии или независимости событии: вероятность появления k событий на любом участке времени длины не зависит от того, появлялись или нет события_в предшествующие промежутки времени.

3. Св-во ординарности : событие появляется не группами, а в одиночке. Другими словами, вероятность появления более одного события на малый участок времени пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события ( поток катеров, подходящих к причалу).

Вероятность появления m событий простейшего потока за время продолжительностью tопределяем формулой Пуассона .

ПР. Проверкой установлено, что цех в среднем выпускает 96% продукции высшего сорта. На базе приемщик проверяет 200 изделий этого цеха. Если среди них окажется более изделий не высшего сорта, то вся партия бракуется, т.е. возвращается в цех. Какова вероятность того, что партия будет принята?

Решение. (вероятность негодного изделия), . Вероятность принятия партии

.

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

, где - некоторое число.