1.10.Геометрическое определение вероятности

Недостатком классического определения является то, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий, еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности - вероятности попадания точки в область.

Рассмотрим на плоскости некоторую область , имеющую площадь , и внутри область D с площадью .

В области случайно выбирается точка Х. Этот выбор можно интерпретировать как бросание точки Х в область . При этом попадание точки в область - достоверное событие, в D – случайное.

Предполагается, что все точки области равноправны, т.е. брошенная точка может попасть в любую точку области , и вероятность попадания в область D пропорциональна площади этой области и не зависит от её расположения и формы.

Пусть событие , т.е. брошенная точка попадает в область D.

ОПР. Геометрической вероятностью события А – называется отношение площади D с площади ,т.е.

(1.10)

Данное определение применимо ,когда области D и линейны или объемны, l – длина, а V – объем соответствующей области.

В общем случае геометрическую вероятность можно записать в виде следующей формулы, где - мера области.

(1.11)

Геометрическая вероятность обладает теми же свойствами, присущими классическому определению.

ПР. ПР. Испытание попадание точки на[2;5].

Событие А- попадание точки на [3;4]. Найти вероятность события А.

Решение. .

1.11. Аксиоматическое определение вероятности

Аксиоматическое построение ТВ создано в начале 30-х годов академиком А.Н. Колмогоровым. Аксиомы ТВ вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала основными свойствами статистической вероятности, характеризующей её практический смысл. В этом случае теория хорошо согласуется с практикой.

Пусть - множество всех возможных исходов некоторого опыта, S - алгебра событий (см. п.1.4): S – содержит достоверное и невозможное события, и если дано конечное или счетное множество принадлежащее S, то ему принадлежат сумма, разность и произведение этих событий.

ОПР.ВЕРОЯТНОСТЬЮ события функция Р(А), определенная на алгебре событий S, принимающая действительные значения и удовлетворяющая следующим аксиомам:

А1 - Аксиома неотрицательности: вероятность любого события неотрицательна, т.е. ;

А2 - Аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна единице,

т .е. ;

А3 - Аксиома аддитивности: вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

ОПР. Совокупность объектов , где - ПЭС, S – алгебра событий, Р – числовая функция, удовлетворяющая аксиомам А1-А3, называется вероятностным пространством случайного эксперимента.

Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления; заданием этого пространства завершается аксиоматика ТВ.