3.2. Коэффициент Дарси при ламинарном напорном движении в трубе

Из (7.9) можно записать выражение для гидравлического уклона:

.

Тогда имеем

. (7.10)

Зависимость (7.10) определяющая величину потерь напора при ламинарном режиме движения, показывает, что потери напора при ламинарном режиме пропорциональны первой степени средней скорости зависят от рода жидкости, обратно пропорциональны площади сечения трубы и не зависят от шероховатости стенок трубы.

Учитывая, что общее выражение для потерь напора по длине труб определяется по формуле Дарси – Вейсбаха:

, (7.11)

приравняв его к (7.10), получим:

.

Отсюда коэффициент Дарси (коэффициент гидравлического трения):

,

или .

Если выразить число Re через гидравлический радиус R, то:

Потери напора по длине трубы круглого сечения при равномерном ламинарном движении пропорциональны средней скорости потока в первой степени. Это следует из (7.11), если подставить в эту формулу , и из (7.10). Опытные данные подтверждают установленную зависимость h_дл от  в первой степени.

Б. Турбулентный режим движения

3.3. Логарифмический закон распределения осредненных скоростей в турбулентном потоке

Рассмотрим плоское равномерное турбулентное движение вдоль твердой границы, в системе координат х, у, z. Направление оси ОХ совпадает с направлением линий тока осредненного движения, которые представляют собой параллельные прямые. Тогда (см. модуль 5, п. 2), где z – расстояние данной точки от стенки по нормали.

Согласно (6.1) касательное напряжение в турбулентном потоке:

.

Если поток сильно турбулизирован, то первый член пренебрежимо мал и тогда:

.

Для вывода закона распределения скоростей при турбулентном движении сначала введем предположения относительно длины пути перемешивания l. Для определения длины пути перемешивания существует несколько формул, наиболее простой из них является формула Прандтля, согласно которой в безграничном потоке, движущемся вдоль плоской твердой стенки, , где χ – коэффициент.

Измерения показывают, что вблизи стенки трубы при δ_в  z   0,1 r₀ можно принять l = 0,4 z, где δ_в – толщина вязкого подслоя. Однако при удалении от стенки эта зависимость становится не соответствующей данным измерений и должна быть уточнена.

Примем l по формуле А.А. Саткевича для трубы:

. (7.12)

Согласно (7.12) l приобретает наибольшее значение при , а на стенке и на оси трубы длина пути перемешивания l=0.

Численные значения коэффициента χ зависят от числа Re, коэффициент χ изменяется при переходе от одних точек к другим в пределах живого сечения. Если поток взвесенесущий или аэрированный, то χ зависит от концентрации твердых частиц или воздуха в жидкости: с увеличением концентрации наносов и воздуха χ уменьшается.

Для турбулентных потоков в трубах χ приближенно можно принять равным 0,4. Это значение получено Никурадзе по данным опытов при турбулентном режиме движения в круглых цилиндрических трубах с искусственно созданной равнозернистой шероховатостью. Для зоны живого сечения, в которой можно вследствие интенсивного перемешивания пренебречь чисто вязкостными напряжениями, то есть в турбулентном ядре, χ можно принимать по:

Здесь и далее обозначаем .

Подставив в эту формулу значение l из (7.12), получим:

.

Так как по (7.5) , то:

.

Но , и тогда:

.

Здесь можно принять χ не зависящим от местоположения рассматриваемой точки по отношению к стенке трубы, то есть от z. Тогда, вынеся за знак интеграла, получим:

,

то есть логарифмический закон распределения скоростей в турбулентном потоке.

Отметим, что хотя измерение длины пути перемешивания l нельзя осуществить, можно сопоставить измеренные в опыте значения скоростей (это легко сделать) с вычисленными по формуле распределения скоростей. Их полное или удовлетворительное совпадение будет свидетельствовать о правильности принятой формулы для l как функции z (то есть в зависимости от удаления от стенки).

Логарифмический закон распределения скоростей вполне удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными для труб и открытых потоков, за исключением области вблизи стенок, так как в пристенной области нельзя пренебречь вязкостными напряжениями.

П ри турбулентном движении перемешивание частиц жидкости и происходящий при этом обмен количеством движения приводят к выравниванию осредненных скоростей в различных точках живого сечения. Особенно это заметно при сравнении распределения осредненных скоростей в трубе при ламинарном (рис. 7.6) и турбулентном (рис. 7.7) движении. При ламинарном движении , а при турбулентном движении это отношение – переменное и увеличивается с увеличением числа Рейнольдса.