Золотое сечение и симметрия

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Золотое сечение в греческом искусстве

Идея гармонии, основанной на золотом сечении, не могла не коснуться греческого искусства. Природа, взятая в широком смысле, включала в себя и творческий мир человека, искусство, музыку, где действуют те же законы ритма и гармонии. Предоставим слово Аристотелю: "Природа стремится к противоположностям и из них, а не из подобных вещей, образует созвучие…Она сочетала мужской пол с женским. А не каждый из них с однородным, и таким образом первую общественную связь она образовала через соединение противоположностей, а не посредством подобного. Также и искусство, по-видимому, подражая природе, поступает таким же образом. А именно живопись делает изображения, соответствующие оригиналам, смешивая белые, черные, желтые и красные краски. Музыка создает единую гармонию, смешав в совместном пении различных голосов звуки высокие и низкие, протяжные и короткие. Грамматика из смеси гласных и согласных ... создала целое искусство".

Взять материал и исключить все лишнее - таков афористически запечатленный план ваятеля, вобравшего в себя всю серьезность философской мудрости античного мыслителя. И это - главная идея греческого искусства, для которого "золотое сечение" впервые стало некоторым эстетическим каноном.

Основу искусства составляет теория пропорций. И, конечно же, вопросы пропорциональности не могли пройти мимо Пифагора. Из философов Греции Пифагор, может быть впервые, старается математически разобрать существо гармонических пропорций. Пифагор знал, что интервалы октавы могут быть выражены числами, которые отвечают соответствующим колебаниям струны, и эти числовые отношения были положены Пифагором в основу их музыкальной гармонии. Пифагору приписывают знание арифметической, геометрической и гармонической пропорций, а также закона золотого сечения. Последнему Пифагор придавал особое, выдающееся значение, сделав пентаграмму или звездчатый пятиугольник отличительным знаком своего "союза".

Платон, заимствуя пифагорейское учение о гармонии, использует пять правильных многогранников ("платоновых тел") и подчеркивает их "идеальную" красоту. Значение пропорций Платон подчеркивает в следующем высказывании: "Две части или величины не могут быть удовлетворительно связаны между собой без посредства третьей; наиболее красивым связующим звеном является то, которое совместно с двумя первоначальными величинами дает наиболее совершенное единое целое. Достигается это наилучшим образом пропорцией (аналогией), в которой из трех чисел, плоскостей или тел, среднее так относится ко второму, как первое к среднему, а также второе к среднему как среднее к первому. Из этого следует, что среднее может заменить первое и второе, первое же и второе - среднее и все вместе, таким образом, составляет неразрывное единое целое".

Аристотель основными требованиями красоты выдвигает порядок, пропорциональность и ограниченность в размерах. Порядок возникает тогда, когда между частями целого возникают определенные соотношения, пропорции. В музыке Аристотель признает октаву наиболее красивым консонансом в виду того, что число колебаний между основным тоном и октавой выражается первыми числами натурального ряда: 1:2. В поэзии, по его мнению, ритмические отношения стиха основаны на малых численных соотношениях, этим самым достигается красивое впечатление. Кроме простоты, основанной на соизмеримости отдельных частей и целого, Аристотель, как и Платон, признает высшую красоту правильных фигур и пропорции, основанной на золотом сечении.

Не только философы Древней Греции, но и многие греческие художники и архитекторы уделяли значительное внимание достижению пропорциональности. И это подтверждается анализом архитектурных сооружений греческих зодчих. Фригийские гробницы и античный Парфенон, "Канон" Поликлета и Афродита Книдская Праксителя, наиболее совершенный греческий театр в Эпидавре и древнейший из дошедших до нас театр Диониса в Афинах - все это яркие образцы ваяния и творчества, исполненные глубокой гармонии на основе золотого сечения.

Театр в Эпидавре построен Поликлетом Младшим в 40-ю Олимпиаду. Рассчитан на 15 тысяч человек. Театрон (место для зрителей) делится на два яруса: первый имеет 34 ряда мест, второй - 21 (числа Фибоначчи!). Раствор угла, объемлющего пространство между театроном и скеной (пристройка для переодевания актеров и хранения реквизита), делит окружность основания амфитеатра в отношении 137,5:222,5 = 0.618 (золотая пропорция). Это соотношение реализовано практически во всех античных театрах. Данная пропорция у Витрувия в его схематических изображениях такого рода построек, составляет 5:8, то есть рассматривается как отношение чисел Фибоначчи.

Театр Диониса в Афинах трехъярусный. Первый ярус имеет 13 секторов, второй -21 (числа Фибоначчи!). Отношение растворов углов, делящих окружность основания на две части - то же самое, то есть золотая пропорция.

Три смежных числа из начального фрагмента ряда Фибоначчи 5, 8, 13 есть величины разностей между радиусами окружностей, лежащих в основании плана построения большинства театров. Ряд Фибоначчи служил как бы масштабной шкалой, где каждое число соответствует целым единицам аттического фута, но в то же время эти величины связаны между собой единой математической закономерностью.

При построении храмов за основу брался человек как "мера всех вещей": в храм он должен входить "с гордо поднятой головой". Его рост делился на 6 единиц (греческих футов), которые откладывались на линейке, а на нее наносилась шкала, жестко связанная с последовательностью шести членов ряда Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13 (их сумма равна 32 = 25). Прибавлением или вычитанием этих эталонных отрезков достигались необходимые пропорции сооружения. Шестикратное увеличение всех отложенных на линейке размеров сохраняло гармоническую пропорцию. В соответствии с этой шкалой и строили храмы, театры или стадионы.

Что касается греческой скульптуры, то и здесь искания пропорциональности человеческого тела - несомненны. Еще Диодор упоминает о двух скульпторах с острова Самос - о Телекле и Теодоре, которые якобы впервые перенесли выработанные в Египте нормы человеческого тела в греческую скульптуру. Плиний свидетельствует, что скульптор Поликлет написал статью о правильных пропорциях человеческого тела и вылепил знаменитую статую Дорифора (Рис. 1), которая долгое время служила каноном.

Рис. 1

Гармонический анализ статуи Дорифора, изложенный в книге русского Проф. Г.Д. Гримма "Пропорциональность в архитектуре" (1933), указывает на следующую связь знаменитой статуи с золотым сечением M = t:

первый раздел фигуры Дорифора или ее полной высоты M0 = 1 в пропорции золотого сечения M1 = t -1 и M2 = t -2 проходит через пупок;

второй раздел нижней части туловища M1 = t -1 и M2 = t -2 проходит M2 = t -2 и M3 = t -3 проходит через линию колена;

третий раздел M3 = t -3 и M4 = t -4 проходит через линию шеи.

Теория измерения гармонии по принципу деления целого в среднем и крайнем отношении ("золотое сечение"), разработанная античными математиками, и стала тем фундаментом, той стартовой площадкой, на которой впоследствии были воздвигнуты концепции гармонии в науке и искусстве новоевропейской науки.