Задание 12

Физические приложения определенного интеграла

12.1. Вычислить работу, которую надо совершить, чтобы выкачать воду из вертикальной цилиндрической бочки, имеющей радиус основания и высоту .

12.2. Вычислить работу, которую надо совершить при постройке пирамиды с квадратным основанием, если высота пирамиды - сторона основания - плотность материала – .

12.3. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать жидкость плотности из резервуара, имеющего форму конуса, обращенного вершиной вверх. Радиус основания , высота .

12.4. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать жидкость плотности из резервуара, ограниченного поверхностями

12.5. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы насыпать кучу песка в форме усеченного конуса высоты , имеющего радиусы оснований и Песок плотности поднимают с поверхности земли, на которой покоится большее основание конуса.

12.6. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрический резервуар с высотой и радиусом основания .

12.7. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать воду из полусферического котла, имеющего радиус .

12.8. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать масло через верхнее отверстие из цистерны, имеющей форму цилиндра с горизонтальной осью, если плотность масла , длина цистерны и радиус основания .

12.9. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы поднять с поверхности земли, радиус которой , на высоту ? Чему равна эта работа, если тело должно быть удалено на бесконечность?

12.10. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать воду из конического сосуда, обращенного вершиной вниз, радиус основания которого равен и высота .

Некоторые физические задачи могут быть решены при помощи определенного интеграла.

1. Путь, пройденный точкой. Если точка движется по некоторой кривой и абсолютная величина скорости ее есть известная функция времени , то путь, пройденный точкой за промежуток времени , равен

2. Работа силы. Если переменная сила действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке равна

3. Кинетическая энергия. Кинетическая энергия системы материальных точек, с массами и обладающих скоростью , равна

Для подсчета кинетической энергии тела его надлежащим образом разбивают на элементарные частицы (играющие роль материальных точек), а затем, суммируя кинетические энергии этих частиц, в пределе получают интеграл.

4. Давление жидкости. Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на площадку с глубиной погружения равна где - удельный вес жидкости.

Пример 12. Вычислить работу, которую надо совершить, чтобы выкачать жидкость плотности из котла, имеющего форму параболоида вращения, обращенного вершиной вверх. Радиус основания – , высота – .

Решение

	Через произвольную точку проведем плоскость , перпендикулярную оси . Введем следующие обозначения: - площадь сечения параболоида этой плоскостью, - объем части тела, лежащей ниже плоскости . Будем считать, что на отрезке величина есть функция от , т. е. , где
Рис. 5.

Найдем - дифференциал функции . Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось в точках и , который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием и высотой . Поэтому дифференциал объема равен , а т. к. площадь круга равна , то

Работа , совершаемая при поднятии тела весом на высоту , равна Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной есть функция от , т. е. где Находим главную часть приращения при изменении на величину т.е. находим дифференциал функции : где - вес «элементарного» слоя. Здесь - ускорение свободного падения, - плотность жидкости, - объем «элементарного» слоя жидкости. Учитывая , получаем, что Таким образом, Интегрируя полученное равенство в пределах от до находим :

.

Ответ: (Дж.).

Список рекомендуемой литературы

1. Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу для втузов: учеб. пособие для студентов высш. техн. заведений / Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; под ред. Б. П. Демидовича. – М.: ООО «Издательство Астрель»; ООО «Издательство АСТ», 2002. – 495 с.

2. Виноградова, И. А. Задачи и упражнения по математическому анализу / И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий: Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной: учеб. пособие для ун-тов, пед. вузов / под ред. В. А. Садовничего: в 2 кн. Кн. 1. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш. шк.. 2000. –725 с.

3. Кудрявцев, Л. Д., Сборник задач по математическому анализу. Интегралы и ряды: учеб. пособие. / А. Д . Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабунин / под ред. Л.Д. Кудрявцева - М.: Наука, Т. 2.-1986.

4. Ляшко, И. И. Математический анализ в примерах и задачах. Ч. I. Введение в анализ, производная, интеграл. / А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, Г. П. Головач,– Киев: /Вища шк./, 1974. – 680 с.

Редактор Е. Л. Наркевич

Подписано в печать 23.05.05. Бумага офсетная. Формат 60х84 1/16.

Печать офсетная Уч.-изд.л. 1,75. Тираж 100 экз. Заказ №

ГОУ ВПО “Кемеровский государственный университет”.

650043, Кемерово, ул. Красная, 6.

Отпечатано в издательстве “Кузбассвузиздат”.

650043, Кемерово, ул. Ермака, 7.

23