Задание 9

Вычисление площади плоской фигуры.

9.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: и

9.2. Окружность разделена параболой на две части. Найти площади фигур, ограниченных этими кривыми.

9.3. Найти площади фигур, ограниченных кривыми, на которые парабола делит окружность .

9.4. Найти площади фигур, образованных пересечением эллипса и гиперболой .

9.5. Найти площадь фигуры, заключенной между кривыми и .

9.6. Найти площади фигур, на которые гипербола делит круг .

9.7. Вычислить площади двух частей, на которые круг разделен параболой .

9.8. Вычислить площадь, содержащуюся между окружностью и параболой .

9.9. Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболами и прямой .

9.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и прямой

Пример 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами:

и

Решение

	Фигура, ограниченная данными кривыми, изображена на рис. 2. Она будет симметрична относительно оси . Поэтому достаточно найти площадь половины фигуры при Найдем абсциссу точки пересечения графиков (приравнивая правые части уравнений и , учитывая при этом, что ):
Рис. 2

Далее найдем точки пересечения парабол с осью абсцисс, т. е. те значения , для которых : и .

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболами, равна

.

Ответ: (кв. ед.).

Задание 10

Найти площадь области, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах.

10.1. .

10.2. .

10.3. .

10.4. .

10.5. .

10.6. .

10.7. (лемниската).

10.8.

10.9.

10.10. (найти площадь одного лепестка).

Пример 10. Найти площадь области, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах: , .

Решение.

	График данной кривой, которая образует пять симметричных петель, носит название «пятилепестковая роза» (см. рис. 3.). Площадь фигуры, заданной в полярных координатах, находится по формуле
Рис. 3

,

где - площадь фигуры, ограниченной непрерывной линией и двумя лучами и .

Вначале найдем площадь половины лепестка «розы», т. е. часть площади всей фигуры:

.

Следовательно: .

Ответ: (кв. ед.).

Задание 11

Вычисление объема тела

11.1. Найти объем тела,образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми

11.2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями

11.3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями

11.4. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми

11.5. Найти объем тела,образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс.

11.6. Найти объем тела,образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми

11.7. Найти объем тела,образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми

11.8. Найти объем тела,образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми

11.9. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми

11.10. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой

Пример 11. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривыми и .

Решение

	Фигура, ограниченная данными кривыми, изображена на рис. 4.Найдем абсциссы точек пересечения кривых из системы Решая уравнение , получим, что Объем тела, образованного вращением вокруг оси графика функции
Рис. 4

, ограниченного прямыми и , находится по формуле

Искомый объем равен разности объема тела, образованного вращением вокруг оси прямой , ограниченной прямыми , , и объема тела, образованного вращением вокруг оси параболы , ограниченной прямыми , .

То есть,

Ответ: (куб. ед.).