3.Ортогональные многочлены и их свойства
Многочлены Sn(x), n=0,1… ортогональны на (a;b) с весом q(x)≥0, если:
.
Ортогональные многочлены обладают следующими свойствами:
10. Всякий многочлен
Pn(x)
может быть представлен в виде
,
где Ck
– коэффициенты разложения.
Доказательство
Докажем существование таких коэффициентов Ck.
Умножим последнее равенствоскалярно на qSm, m=0,1..n. Получим:
Единственность такого разложения следует из построения.
Что и требовалось доказать.
20. Всякий многочлен Pn ортогонален Sm с весом q(x), если n<m.
Доказательство
Пусть n<m.
Из свойства 1 многочлен Pn(x) представим в виде:
.
Умножим скалярно равенство на q(x)Sm(x).
Получим:
.
Что и требовалось доказать.
30. Sn(x) имеет на [a;b] все n нулей, более того все они – простые.
Доказательство
Предположим, что Sn(x) имеет на [a;b] лишь k<n нулей, которые являются простыми (x1..xk).
Тогда многочлен вида
не
меняет знак на [a;b],
а значит
.
С другой стороны, многочлен
имеет степень k<n,
а значит по свойству 2:
Противоречие доказывает требуемое.
Таким образом, выбирая для квадратурной формулы xk как нули многочлена степени n из некоторой ортогональной системы многочленов на [a;b], получим выполнение условия 2) Теоремы 2 (из свойства 2 ортогональных многочленов). А значит, интерполяционная квадратурная формула становится формулой наилучшей алгебраической точности.
Например, если необходиом найти интеграл на [-1;1], то узлы выгодно рассматривать, равные нулям многочлена Чебышева. Тогда интеграл примет вид:
.
Вместо функции f(x)
будем рассматривать функцию
в квадратурной формуле.
§2. Применение квадратурных формул
Постановка задачи
Т.к. априорно треуется высокая гладкость функции, и вычисление интерполяционного многочлена сложно, а также сложно увеличивать число узлов (т.е. уменьшать шаг), то для вычисления интеграла используется следующий метод.
Отрезок [a;b]
разбивается на узлы a=x0<..<xn=b
(для простоты шаг h
постоянен). Следовательно, исходный
интеграл разбивается на сумму интегралов:
.
Теперь достаточно построить интерполяционную квадратурную формулу для интеграла на малом отрезке [xk-1;xk], т.е. более низкого порядка m, чем для интеграла по всему отрезку [a;b].
1.Метод прямоугольников (m=0)
На отрезке [xk-1;xk] функция f(x) заменяется по некоторому определенному значению (по f(xk-1) – метод левых; по f(xk) – метод правых; по f((xk + xk-1)/2) – метод cрединных прямоугольников) многочленом P0(x,k).
Р
ассмотрим
метод левых прямоугольников.
Применяется квадратурная формула:
,
где h=xk
–xk-1.
Получим общую квадратурную формулу:
Оценим погрешность данного метода. Вообще в задаче алгебраической интерполяции f(x) многочленом Рn(x) погрешность Rn(x) имеет вид O(hn+1)
1) Локальная погрешность аппроксимации
для многочлена Р0(х): R0(x)=O(h1)
2) Локальная погрешность интегрирования
3) Общая погрешность интегрирования
Т.е. метод прямоугольников - первого порядка точности.
2. Метод трапеций (m=1)
Н
а
отрезке [xk-1;xk]
функция f(x)
заменяется по значениям в узлах xk-1,
xk
многочленом P1(x,k).
Общая формула:
Погрешность:
1) O(h2) для Р1(х)
2)
3)
Т.е. метод - второго порядка точности.
3. Метод парабол (m=2)
Н
а
отрезке [xk-1;xk]
функция f(x)
аппроксимируется параболой. Для этого
берутся значения функции в точках xk-1,
xk
, (xk
+ xk-1)/2).
Обозначим интерполяционный полином как P2(x,k).
Тогда:
.
Оценим погрешность данного метода.
1) Локальная погрешность аппроксимации
для многочлена Р2(х): R2(x)=O(h3)
2) Локальная погрешность интегрирования
3) Общая погрешность интегрирования
Т.е. метод прямоугольников - третьего порядка точности.
Коэффициенты a1k, a2k и a3k можно найти, воспользовавшись представлением функции приближенно в виде интерполяционнго многочлена Лагранжа:
.