- •Глава1. Проблема аппроксимации
- •§1. Полиномиальная апппроксимация
- •§2. Интерполяционный полином в форме Лагранжа
- •§3. Интерполяционный полином в форме Ньютона
- •§4. Аппроксимация сплайнами
- •§5. Метод наименьших квадратов
- •§6. Полиномиальная интерполяция с кратными узлами
- •§7. Свойства разделенных разностей
- •§8. Задача Чебышева. Разрешимость системы
- •§9. Теорема Чебышева
- •§10. Многочлены Чебышева
- •Глава2. Численное дифференцирование
- •Глава3. Численное интегрирование
- •§1. Интерполяционные квадратурные формулы
- •1.Интерполяционные квадратурные формулы
- •2.Интерполяционные квадратурные формулы наилучшей алгебраической точности
- •3.Ортогональные многочлены и их свойства
- •§2. Применение квадратурных формул
- •§3. Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний)
- •§4. Правило Рунге практической оценки погрешности
- •Глава4. Алгебраическая проблема собсвенных значений
- •§1. Ортогональные матрицы
- •1.Ортогональные матрицы
- •2.Матрица элементарного поворота
- •§2. Вариационное свойство собственных значений
- •§3. Приведение симметричной матрицы к диагональному виду
- •§4. Сингулярное разложение матрицы
- •§5. Сопряженная матрица
- •§6. Частная спектральная задача
- •1.Вариационный метод
- •2.Степенной метод
- •§7. Метод максимизации столбцов
- •1.Максимизация первого столбца
- •2.Алгоритм сингулярного разложения
- •3.Главное собственное число
- •§8. Метод вращения
§4. Сингулярное разложение матрицы
Пусть А – вещественная матрица. Тогда AAT, ATA – симметричные матрицы, а значит они могут быть приведены к диагональному виду.
Обозначим AAT=UЛUT, ATA=VЛVT,
где U,V – ортогональные матрицы, Л – диагональная.
Лемма Собственные числа матриц AAT, ATA равны и неотрицательны.
Доказательство
1. Пусть λi – некоторое собственное число матрицы ATA.
Тогда . Умножим скалярно равенство на xi:
2. Обозначим собственные числа матриц ATA, AAT соответственно.
Таким образом матрицы Л для AAT, ATA совпадают.
Что и требовалось доказать.
Заметим, что если матрица А невырожденная, то её собственные числа больше нуля.
Обозначим как Тогда:
.
Обратная к матрица имеет вид: .
Обозначим . Тогда:
.
Таким образом, получено: .
Умножим на B-1 справа: .
Для всякой вещественной матрицы А существует её сингулярное разложение, т.е. представление в виде: A=USW,
где U,W – ортогональные матрицы, S=diag(s1..sn), si≥0, i=1..n.
Задача: Доказать, что - сингулярное разложение матрицы А.
§5. Сопряженная матрица
Рассмотрим вещественную матрицу A=(aij). Тогда сопряженная к ней в пространстве Rn матрица: A*=(a*ij)=AT.
В пространстве Rn A – линейный оператор; А* - сопряженный к нему.
Образ Im A – область значений оператора А: Im A= A(Rn).
Ядро ker A – множество элементов, обращаемых оператором А в ноль:
ker A={x | Ax=0}.
Im A, ker A – подпространства пространства Rn.
Задача: доказать указанное выше утверждение.
Лемма .
Доказательство
Im A – подпространство пространства Rn. Обозначим как L его ортогональное дополнение (множество всех элементов из Rn, ортогональных каждому элементу из Im A). Тогда . Докажем, что L=ker A.
Т.е. .
Т.е. .
Что и требовалось доказать.
§6. Частная спектральная задача
Частная спектральная задача – задача нахождения некоторых собственных чисел матрицы и соответствующих собственных векторов.
1.Вариационный метод
Пусть А – симметричная матрица. Найдем её максимальное собственное число. Т.к. из ранее доказанного , то задача сводится к нахождению стационарных точек функционала .
2.Степенной метод
Для матрицы А предположим, что:
а) её собственные вектора φ1… φn образуют базис в Rn.
б) её собственные числа удовлетворяют неравенствам | λ1 |>| λk|, k=2..n.
Тогда всякий вектор х из Rn может быть представим в виде: .
Построим последовательность векторов:
x(1)=Ax, x(2)=Ax(1)…x(m)=Ax(m-1)=Amx.
Значит, . Преобразуем правую часть равенства:
при m>>1,
т.к. тогда .
Получим, что:
,
а - соответствующий собственный вектор
(т.к. он определяется с точностью до скалярного множителя).
Знак λ1 найдем из следующего равенства:
- знак находится по первой компоненте.
Точность метода: .
§7. Метод максимизации столбцов
Пусть A=(akp) – вещственная, квадратная матрица порядка n.
Обозначим как ap – pый столбец матрицы.
Заметим, что ; .
Рассмотрим матрицу простого поворота Up:
u11 = upp= c =cosα, -up1 = u1p= -s = - sinα, остальные диагональные элементы равны 1, а недиагональные – нулю. Из ранее доказанного матрица Up осуществляет поворот на угол α против часовой стрелки.