Порядок выполнения работы

ЗАДАНИЕ 1. Изучить устройство линейного нониуса по его модели. Изучить конструкцию штангенциркуля, определить его технические характеристики: придел измерения, точность нониуса. Изучить конструкцию микрометра, определить его технические характеристики: предел измерения, точность микрометра. Изучить конструкцию измерительного микроскопа и его технические характеристики.

ЗАДАНИЕ 2. Определить объем бруска с помощью штангенциркуля.

Определить линейные размеры (a, b, h) бруска, проделав по 4-5 измерений в различных его частях.

Найти среднее значение измеренных величин ( )

В ычислить среднее значение объема бруска: V =a-b-h

Определить ошибку измерений величин a, b, h.

Если средняя случайная ошибка измерений указанных величин меньше точ­ности штангенциркуля, то ее принимают равной точности штангенциркуля. Определить относительную ошибку, с которой определен объем бруска.

Оценить среднюю абсолютную погрешность, с которой определен объем бруска:

∆V = ε*V

Результаты измерений и вычислений заносим в таблицу:

№ п/п	а (мм)	b (мм)	h (мм)	Да (мм)	АЬ (мм)	Ah (мм)
1 2 3 4 5

Окончательный результат представить в виде: V=V±∆V

ЗАДАНИЕ 3. Определить объем шара и цилиндра с помощью микрометра и штангенциркуля. Подсчитать ошибку, с которой определен объем по формулам:

а) для шара где D - диаметр шара;

б) для цилиндра где D - диаметр цилиндра, h - его высота.

ЗАДАНИЕ 4. С помощью весов определить массу одного из тел, и зная его объем, рассчитать плотность материала:

Найти ошибку, с которой определена плотность, по формуле

ЗАДАНИЕ 5. Определить диаметр отверстия капилляра с помощью измери­тельного микроскопа. Оценить ошибку измерений.

Контрольные вопросы.

Что называется ценой деления? Как устроен линейный нониус? Как определить точность нониуса?

Каким образом производится измерение линейных размеров тел при помощи штангенциркуля, микрометра, измерительного микроскопа?

Как определяются ошибки прямых и косвенных измерений?

Литература.

1. Литературный практикум по общей физике. Под ред. Гершезона Е. М. и Малова Н. Н. м:, Просвещение, 1985, с. 8-28.

2. Физический практикум. Под ред. Ивероновой В.И. М; Наука, 1967 стр. 40-47.

3. Сквайре Д. Ж. Практическая физика. Мир. С. 12-54.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ КАТАЮЩЕГОСЯ ШАРИКА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить законы движения катающегося по сферической вогнутой поверхности шарика, рассмотреть условия его гармонических колебаний, определить момент инерции шарика и исследовать зависимость момента инерции от радиуса шарика.

ПРИБОРЫ И ОБОРУДОВАНИЕ: вогнутая сферическая поверхность, шарики, секундомер, микрометр, штангенциркуль, линейка.

Краткая теория.

Момент инерции шарика можно определить, измерив период колебания Т шарика, катающегося по гладкой вогнутой сферической поверхности радиусом R, много большим его радиуса r.

Если пренебречь потерями энергии, затрачиваемой на преодоление диссипативной силы трения, то для катающегося без проскальзывания шарика, должен выполняться закон сохранения механической энергии. Центр масс шарика движется поступательно, но, кроме того, шарик вращается относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости рисунка (рис 1).

Поэтому полная механическая энергия Е шарика складывается из трех частей: потенциальной - mgh , кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения

(1)

Здесь m - масса шарика;

его момент инерции относительно оси Z; г - радиус шарика. Модуль угловой скорости вращения шарика вокруг оси Z, связан с модулем скорости поступательного движения центра масс соотношением: (2)

Используя соотношения: преобразуем (1) к виду:

(3)

При качении шарика по сферической поверхности, его центр масс отклоняется относительно центра О поверхности на угол φ. Из рисунка (1), видно, что угол φ связан с углом поворота О шарика относительно оси Z соотношением:

Где R’ = R - r (4)

Высота подъема h шарика относительно центра сферической поверхности определяется соотношением: h = R' - R' cos φ (5)

Подставляя (4) и (5) в формулу (3), выражаем полную механическую энергию шарика через угол φ:

(6)

Пренебрегая потерями энергии, заключаем, что производная от энергии по углу φ равна нулю. Вычисляя эту производную и приравнивая ее к нулю, получим:

или

Сравнивая последнее уравнение с уравнением гармонических колебаний

Заключаем, что колебания шарика будут гармоническими при условии малых углов отклонения его от центра вогнутой сферической поверхности.

Тогда

Выражая из последнего равенства момент инерции I, получим

Массу шарика выражаем через его радиус и плотность

(7)

Зная плотность стали ρ , ускорение свободного падения g, постоянную π и измерив радиус шарика r, его период колебаний Т и радиус сферической поверхности R, мы можем определить момент инерции шарика.

Радиус кривизны вогнутой сферической поверхности можно определить, измеряя с помощью штангенциркуля и линейки величины a, R, h приведенные на рис. 2,

R² = (R-h)² + a²

R² = R² - 2Rh + h² + a²

2Rh = h² + a²

Период колебаний шарика определяем, измерив время нескольких 5-10 ( по указанию преподавателя) его колебаний.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Измерить трижды величины а и h и определить радиус кривизны вогнутой поверхности R .

2. С помощью микрометра не менее трех раз измерить диаметр шариков d вычислить радиус

3. Вывести шарик из положения равновесия, определить время t 5 - 10 (по указанию преподавателя) полных колебания шарика. Опыт провести не менее трех раз. Определить период колебаний . Занести данные в табл.1.

4. Вычислить среднее значение радиуса <R> , периода колебаний <Т>, радиуса кривизны поверхности <R>, и подставляя их в расчетную формулу (7), определить момент инерции шарика. Плотность материала шарика взять равной плотности стали: 7,8 *10 ^Зкг/м³.

5. Рассчитать момент инерции шарика по формулам ;

6. Сравнить результаты полученные двумя способами. Найти относительную погрешность определения момента инерции шарика,

7. Данные измерений и расчетов занести в таблицы 1-3

8. Записать вывод по работе.

Таблица 1

№	d, м			<d>,M	<r>, м

Таблица 2.

ti, c	ni	Тiс	<Т>, с

Таблица 3.

Т,с	∆T, с	r, м	∆r, м	Iтеор,кг м2	Iэксп, кг м2	ε, %

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Из каких составляющих складывается полная механическая энергия шарика?

2. Когда выполняется закон сохранения полной механической энергии?

3. Как движется центр масс шарика?

4. Где ось вращения шарика?

5. Как направлены скорость и ускорение центра масс шарика?

6. Сравните периоды колебаний разных шариков и объясните наблюдаемую закономерность

7. Выведите формулу для расчета момента инерции шарика.

Лабораторная работа № 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА ПРИМЕРЕ ВРАЩЕНИЯ МАХОВОГО КОЛЕСА

Цель работы: Путем косвенных измерений определить момент инерции

махового колеса, силы трения в опорах, рассчитать

моменты действующих сил и ускорения тел системы.

Оборудование: маховое колесо с грузом, секундомер, сантиметровая лента, штангенциркуль, миллиметровая линейка.

Краткое теоретическое введение

Для описания вращательного движения твердого тела необходимо вводить величины, которые характеризуют, с одной стороны, движения всего тела в целом, а, с другой стороны, воздействие на это тело других тел. Напомним формулировки и физический смысл этих величин.

Момент силы относительно точки

Моментом силы относительно некоторой точки О называется векторная величина , определяемая векторным произведением:

где - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы.

На рис. 1 вектор момента силы согласно правилу векторного произведения будет направлен на лист.

Модуль момента силы:

^

^

- длина перпендикуляра, опущенного из центра вращения на линию действия силы называется плечом силы относительно точки О.

Понятие момента силы относительно точки можно использовать и для введения понятия момента силы, действующей на твердое тело относительно оси ОО′.

Рис. 2

В самом деле, разложим силу (рис. 2) на составляющие и _I. Ясно, что составляющие _II и будут деформировать тело, но не вызовут его вращение относительно оси. Лишь составляющая _I будет создавать вращение. Плечо ее, как и составляющая _II будет равно R. Плечо же составляющей будет равно нулю (рис. 2). Поэтому резу4льтирующий момент силы относительно оси ОО′:

Заметим, что _I – это составляющая силы, перпендикулярная плоскости в которой лежит ось вращения и радиус-вектор , соединяющий по перпендикуляру эту ось с точкой приложения силы.

Модуль момента силы в этом случае равен:

Момент инерции материальной точки – скалярная величина, определяемая произведением массы этой точки на квадрат расстояния от этой точки до оси вращения:

I = mr²

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных материальных точек:

Для тела, представленного в виде совокупности бесконечно малых объемов dV, масса которых равна dm, момент инерции вычисляется как интеграл по объему:

где ρ – плотность элементарного объема.

Момент инерции тела зависит как от его массы, так и от распределения отдельных элементарных масс относительно оси вращения. Естественно, что он не зависит ни от момента внешних сил, ни от кинематических характеристик движения (угловой скорости и ускорения). Момент инерции тела характеризует инертность тела по отношению к изменению им угловой скорости. Он является аналогом массы как меры инертности тела при прямолинейном движении.

Расчет моментов инерции различных тел является задачей на интегрирование, в ряде случаев достаточно сложной. В частности, момент инерции сплошного однородного диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно плоскости его оснований, равен:

где m – масса диска,

R – его радиус.

Если представить массу диска как m = ρV, где ρ – плотность вещества диска, V – его объем и учесть, что V = πR²h, где h – толщина диска, получим:

Так как , где D – диаметр диска, имеем:

Угловая скорость и угловое ускорение

Угловая скорость характеризует интенсивность вращения материальной точки и твердого тела и вычисляется как первая производная угла поворота по времени:

Угловое ускорение, определяющее быстроту изменения угловой скорости, есть:

Принято приписывать величинам ω и ε определенные направления (считать их псевдовекторами). Вектор угловой скорости перпендикулярен плоскости, в которой происходит вращение точки, а направление его определяется правилом правого винта (буравчика), рис. 3

Угловое ускорение может быть направлено либо в ту же сторону, что и угловая скорость(при ускоренном вращении ), либо в противоположную вектору сторону - при замедленном вращении.

Рассмотренные величины связаны соотношением:

где - сумма моментов внешних сил, действующих на тело.

Так как угловое ускорение , можно записать:

или

Это соотношение называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела.

Векторная величина - момент импульса твердого тела.

Описание установки

Рассмотрим установку, изображенную на рис. 4. На валу насажено массивное маховое колесо К и шкив III с намотанной нитью. Нить переброшена через легкий неподвижный блок Б. К другому концу нити подвешены груз m. Опускаясь вниз с высоты h₁, груз m приводит во вращение маховое колесо. При этом потенциальная энергия груза переходит в кинетическую энергию его поступательного движения, махового колеса и работу по преодолению силы трения в опорах вала.

Здесь

v – скорость поступательного движения груза,

I – момент инерции колеса, характеризующий инертность его при

вращательном движении,

ω – угловая скорость махового колеса,

А₁ – работа против сил трения, произведенная во время опускания груза.

Когда груз дойдет до нижней точки, моховое колесо, вращаясь по инерции начинает наматывать нить на шкив, в результате чего груз снова начинает подниматься. Но т.к. существуют силы трения в опорах, то он поднимается на высоту h₂ < h_1. При этом кинетическая энергия вращательного движения колеса и поступа­тельного движения груза перейдет в потенциальную энергию и ра­боту против сил трения в опорах вала, т.е.

где А₂ - работа против сил трения, совершаемая при движении груза

наверх

или (2)

Вычитая из равенства (I) равенство (2) почленно, получим:

(3)

т.е. работа по преодолению сил трения равна разности потенциальных энергий груза. Но

;

где ℓ₁; ℓ₂ – пути, проходимые трущимися участками вала при движении

груза вниз и вверх соответственно,

- суммарная сила трения в опорах вала.

Очевидно, что

где r_в - радиус рала,

N₁ - число оборотов, которое вал сделал за время опускания груза

N₂ - число оборотов, которое вал сделал за время движения груза

наверх

При этом шкив тоже сделал соответственно N₁ и N₂ оборотов за те же промежутки времени.

Точка на окружности шкива прошла пути

Здесь r_ш - радиус шкива,

h₁ и h₂ - длина смотанной и намотанной нити, равная соответственно высоте поднимания и опускания груза, т.к. нить можно считать упругой и нерастяжимой.

Отсюда ; ;

; ;

Подставляя в равенство (3) имеем: ;

Откуда (4)

По этой формуле мы можем вычислить суммарную силу трения в опорах на валу махового колеса.

Подставляя это выражение для силы трения в равенство (I), мы мо­жем определить момент инерции махового колеса I.

(5)

Однако, момент инерции мехового колеса можно определить еще путем следующих рассуждений:

На груз при его движении вниз действуют силы тяжести и натяжения нити Т. Эти силы по второму закону Ньютона сообщают грузу ускоренное движение с ускорением а. В проекциях на направление движения имеем:

откуда (6)

Если пренебречь моментом инерции блока (т.к. его масса значительно меньше массы махового колеса и груза), а нить считать упругой и нерастяжимой, то этa же сила натяжения будет приложена к шкиву III, создавая вращающий момент.

(7)

Существует противоположно направленный момент, создаваемый силами трения по отношению к валу:

(7)

Согласно второму закону Ньютона для вращательного движения:

Считая направление вращающего момента положительным и учитывая, что угол между и , а также и равен ,

имеем:

или

здесь ε – угловое ускорение махового колеса.

Его можно выразить через тангенциальное ускорение точек шкива, считая, что оно равно ускорению груза ā :

Т.к. с этим ускорением за время t груз проходит путь h₁, то

и

Подставляя значение а и ε в уравнение (8) и, решая его относительно I с учетом силы трения (4), подучим:

(5)

Приборы и принадлежности: маховое колесо с грузом, секундомер,

сантиметровая лента, штангенциркуль,

миллиметровая линейка.

Задания

1. Измерить в трех-четырех местах диаметр шкива d_ш = 2r_ш и диаметр вала d_в = 2r_в.

2. Вращая рукой маховое колесо, намотать на шкив нить (трос), удерживающую груз, так, чтобы груз поднялся на некоторую высоту h₁ (порядка 70-100 см).

3. Добившись успокоения груза, опустить маховое колесо и одновременно включить секундомер. Измерить время опускания груза t.

4. Не останавливая вращения колеса, дождаться, когда груз, поднимаясь, остановится. Удерживая колесо, определить высоту подъема груза h_2.

5. Повторить выполнение пунктов 2, 3 и 4 еще два-три раза, поднимая при этом груз на ту же самую высоту, что и в первый раз. Рассчитать средние значения величин <t> и <h₂>.

Результаты измерений занести в таблицу I.

Таблица I

№№ п/п	dω·10-3 м	< dω>10-3 м	< dв·10-3 м	< dв>10-3 м	h1 м	h2 м	<h2> м	t, c	<t> c	m кг

6. Рассчитать момент инерции махового колеса по формуле:

При этом подставлять средние значения величин h₂.

7. Произвести расчет теоретического значения момента инерции махового колеса. Для этого, измерив диаметр колеса D, его толщину h и зная плотность вещества диска ρ, подста­вить эти значения в формулу:

Сравнить полученные значения моментов инерции махового колеса:

Сделать вывод.

8. Определить силу трения в опорах по формуле:

При этом подставляются средние значения <h₂>, <r_ш>, <r_в>

9. Рассчитать момент силы натяжения нити:

M = r_ш · T;

с учетом того, что сила натяжения

Т = m(g – a) = m(g - )

имеем

M₁ = r_ш m(g - )

10. Рассчитать момент силы сопротивления:

M_c = r_в · F

Сравнить моменты силы натяжения и силы сопротивления. Сделать выводы.

Контрольные вопросы:

1. Что называется моментом силы относительно точки? Относительно оси? Как определить направление момента силы?

2. Что называется моментом инерции материальной точки? Твердого тела? Каков физический смысл момента инерции? От чего зависит момент инерции?

3. Приведите примеры расчетов моментов инерции тел. Сформулируйте теорему Штейнера.

4. Выведите основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

5. Что такое момент импульса? При каких условиях момент импульса системы тел остается постоянным?

6. Объясните методику определения величин момента инерции махового колеса и силы трения в опоре, используемую в данной работе. Поясните вывод основных расчетных формул.