1. Теория измерения разности фаз и частотьциетод фигур лиссажу

Суть метода заключается в том, что гармоническое колебание известной частоты X = X₀Cos(ω_xt), подаваемое на вход "X" осциллографа, складывается с перпендикулярным ему колебанием неизвестной частоты Y = Y₀Cos(ω_yt + δ)которое подводится ко входу “V”. Электронный пучок при этом, совершая результирующее колебание, вычерчивает на экране траекторию сложной формы, называемое фигурой Лиссажу. По виду фигуры можно определять разность фаз и частоту изучаемых гармонических колебаний.

1.1. Измерение разности фаз при сложении взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой ча стоты

Предположим, что необходимо измерить разность фаз между двумя синусоидальными напряжениями U₁ = U_]QCos(ωt) и U₂=U₂₀Cos(ωt + δ), где 8 - начальная фаза колебания. Как известно, смещения следа электронного пучка на экране электронно-лучевой трубки (ЭЛТ) пропорциональны напряжениям, следовательно, координаты следа будут определяться формулами: X = X₀Cosωt; Y = Y₀Cos(ωt + δ)

Так как вывод уравнения, которое определяет форму траектории, в этом случае крайне прост и воспроизводится в любом лекционном курсе или учебнике, например [1], то запишем для него окончательный результат

(1)

Это уравнение эллипса с осями координат, не приведенными к главным. Из (1) следует, что форма эллипса зависит от разности фаз 8. При изменении последней от 0 до 2я форма эллипса будет меняться, но он всегда будет вписан в прямоугольник со сторонами 2Хо и 2Уо, так как амплитудные отклонения вдоль осей X и V на экране ЭЛТ определяются величинами U₁₀ и U₂₀ которые е нашем случае не меняются (см.рис. 1)..

Разность фаз (сдвиг фаз) можно определить из уравнения (1) следующим способом: найдем координаты точек пересечения эллипса с осью Y, для чего в уравнение (1) подставим Х=0. При этом оно примет вид

Аналогичные рассуждения приводят соотношению . Таким образом, . (2)

Рис 1

2. Измерение частоты колебаний методом фигур лиссажу

Вывод уравнения траектории при неодинаковых частотах катастрофически усложняется. Выручают комплексные величины: хорошо известно, что целый ряд соотношений между вещественными величинами удобнее получать, используя комплексные, Именно поэтому последние так важны для физики и других естественных наук. Полученное в комплексной форме решение нас не должно смущать, так как вещественные числа, которые выражают результат любого измерения, это частный случай комплексных, из которых следует выделить, заканчивая решение, действительную или мнимую части. Все выкладки особенно упрощаются при использовании показательной формы комплексной величины*. Получим уравнение траектории при сложении взаимно перпендикулярных колебаний, для которых ω_у = пω_х = пω :

При выводе будем использовать известные формулы:

1) формулу Муавра Cosnφ + iSinnφ = e^sinφ (простое следствие формулы Эйлера, где nφ = α);

2. Sin(α+β)=CosαSinβ+ SinαCosβ (5);

3. Cos(α+β)=CosαCosβ+ SinαSinβ (6). Предварительно соотношения (3), (4) преобразуем к виду:

Затем к обеим частям уравнения (9) добавим одну и ту же величину (11)

Перепишем правую часть (11) с помощью формулы Муавра.

Мы знакомы с тремя формами представления комплексных чисел: алгебраическом, тригонометрической и показательной.

z = x + iy = r(Cosφ + iSinφ) = re^iφ

где или i² = 1

Переход от тригонометрической формы к показательной осуществляется с помощью формулы Эйлера Cosφ + iSinφ = e^iφ

И, наконец, используя (5,6,7,8,9,10), получим уравнение траектории в комплексной форме

или

Здесь проведены обычные преобразования, требующие аккуратности из-за их громоздкости.

Пусть показатель n в правой части (13) может быть представлен в виде отношения двух целых чисел: n = n_x/n_y.

Последнее позволяет привести (13) к виду

Этот случай прост для анализа и обеспечивает устойчивость фигур Лиссажу на экране ЭЛТ.

Правая и левая части (14) представляют собой комплексные биномы с натуральными показателями, которые разлагаются в ряды с помощью известной формулы Ньютона , где надо учесть, что 0!=1, и m=0,l,2...n.

В качестве последнего шага в нашем случае остается приравнять действительные части в разложениях левой и правой частей уравнения (14) и получить уравнение траектории в вещественной форме. Структура его, однако, будет определяться значениями биномиальных показателей n_х и n_у

Рекомендуем вам получить из (14) уравнение траектории при n_х = n_у = 1, чтобы убедиться, что (14) содержит в скрытом виде результат (1).

Выведенные после разложения в ряды уравнения можно представить в виде f(X)=0 и f(y)=0. Для этого необходимо в исходных уравнениях положить Х=0 или

X=Const ≤ Xo и сгруппировать все слагаемые в одной части равенства. Тогда мы получим уравнение степени n_у относительно У. Положив У=0 или y=Const ≥ Y₀, мы придем к уравнению степени n_х относительно X.

Из основной теоремы алгебры известно, что уравнение степени n имеет n корней. Графически это означает, что ось У (Х=0) пересекает фигуру Лиссажу n_у раз, а ось Х(У=0) - n_х раз. Только что сказанное справедливо и для прямых X=Const< Xo и Y=Const< Yo, параллельных координатным осям. Таким образом, отношение частот равно отношению чисел пересечений фигуры Лиссажу с прямыми, параллельными осям X и У.

Отсюда вытекает правило определения частоты колебаний: на экране ЭЛТ с помощью координатной сетки мысленно проводят две взаимно перпендикулярные прямые, параллельные координатным осям, и подсчитывают число точек пересечения этих прямых с фигурой Лиссажу. Так как неизвестная частота связана с известной ω_x формулой ω_y = nω_x и n=n_х/n_у, то ее следует, очевидно, рассчитывать по формуле .

На рис.2 показан характер мысленных построений на экране ЭЛТ. Прямые не следует проводить через точки пересечения, т.к. последние необходимо учитывать дважды (кратные корни).

Рис.2