2.5. Следствия теорем сложения и умножения

Теорема 9. Вероятность наступления хотя бы одного из независимых событий А₁, А₂,…, А_n равна разности единицы и вероятности произведения событий, являющихся дополнениями к данным:

Теорема 10. Вероятность события А, которое может наступить с несовместными событиями Н₁, Н₂,…, Н_n, образующими полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н₁, Н₂,…, Н_n на соответствующую условную вероятность события А: Р(А) = Р(Н₁) Р(А  Н₁) + …+ Р(Н_n)Р(А  Н_n) (это формула полной вероятности).

Иначе формулу полной вероятности записывают так:

Пример 22. В черном мешке лежат 14 шаров: 10 красных и 4 синих. В белом мешке лежат 24 шара: 14 красных и 10 синих. Бросается игральный кубик: если число выпавших очков составное, то извлекается шар из черного мешка; если число выпавших очков простое, то – из белого мешка. Найдите вероятность того, что вынутый шар красный.

Решение. А = {Вынут красный шар}, Н₁ = {Выбран черный мешок}, Н₁ = {Выбран белый мешок}: Р(Н₁) = 2/6, Р(Н₂) =3/6, Р(А  Н₁) =10/14, Р(А   Н₂) = 14/24. Следовательно Р(А) =2/6  10/14 + 3/6  14/24 = 89/168  0,5298.

Теорема 11. В условиях теоремы 10 верна формула

Р(Н_i  А ) = Р(А  Н_i) Р(Н_i) / Р(А) (это формула Байеса).

Эта формула позволяет переоценить вероятности гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n (известные до испытания) после того как произошло некоторое событие А.

Пример 23. В условиях примера 23 найдите вероятность того, что шар был извлечен из первого мешка, если известно, что шар красного цвета.

Решение. отсюда т.е. вероятность гипотезы Н₁ после испытания изменилась (сделана переоценка вероятности гипотезы Н₁).