2.3. Безусловная и условная вероятности

Рассмотренная выше классическая вероятность события является безусловной вероятностью, хотя она и рассматривается для некоторого комплекса условий. Условная же вероятность кроме известного комплекса условий определяется дополнительным условием (или условиями).

Пример 17. Проводится испытание по бросанию кубика. Найти вероятность события А₂ при условии, что событие В уже наступило: А₂ = {Выпало два очка}, В = {Выпало четное число очков}.

Решение. Так как В произошло, то могли произойти три события А₂ = {Выпало два очка}, А₄ = {Выпало четыре очка}, А₆ = {Выпало шесть очков}. Если событие В добавить к комплексу условий, то получится, что у данного испытания три элементарных исхода и один благоприятствующий событию А₂  Р(А₂ В) – вероятность события А₂ при условии наступления В равна 1/3.

Определение 25. Условной вероятностью события А при условии события В (Р(В)  0) называют отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события В: Р(А  В) = Р(А  В) / Р(В).

Пример 18. Найти вероятность того, что в группе из 20 человек нет родившихся в один день при условии события В = {Все присутствующие родились в один месяц}.

Решение. Используем определение условной вероятности для нахождения Р(А  В), где А = {В группе из 20 человек нет родившихся в один день года}. А  В = {Все 20 человек родились в разные дни одного месяца}. Составим список присутствующих и каждому припишем его день рождения. Тогда: если в месяце N дней, то получим для него списков, благоприятствующих событию А  В; общее число элементарных исходов (списков) равно , т.е. могут встретиться люди, родившиеся в один день любого месяца. Следовательно: 20 человек могли родиться в любой месяц года, и эти случаи несовместимы, по аксиоме III имеем:

Р(А  В) = 0,000315951.

Определение 26. События А и В называют независимыми, если условная вероятность события А при условии В совпадает с безусловной вероятностью события А: Р(А  В) = Р(А).

Пример 19. Определить, являются ли указанные события независимыми: А = {Выпало простое число очков}, В = {Выпало нечетное число очков}.

Решение: Р(А  В) = события А и В не являются независимыми, т.е. они зависимые события.

Теорема 4. Если событие А не зависит от В, то и событие В не зависит от А [Если Р(А  В) = Р(А), то Р(В  А) = Р(В)].

Теорема 5. Если событие А и В независимы, то независимы будут пары событий:

2.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема 6. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема 7. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии первого события: Р(А  В) = Р(А)  Р (В  А).

Теорема 8. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

Пример 20. Два снайпера стреляют одновременно по цели, которая считается пораженной, если есть хотя бы одно попадание. Найдите вероятность поражения цели, если известно, что вероятность попадания по цели для первого и второго снайпера равна соответственно 0,85 и 0,92.

Решение. Пусть А = {Попадание 1-го снайпера}и В = {Попадание 2-го снайпера}. Тогда

Пример 21. Биатлонист стреляет по мишени. Вероятность выбить 9 очков равна 0,6, и вероятность выбить 10 очков равна 0,25. Найдите вероятность того, что биатлонист выбьет не менее 9 очков.

Решение. Пусть А = {Выбито 9 очков}, В = {Выбито 10 очков}. Тогда