Практика №3 Принятие решений в задачах стратегического планирования

5.1.Постановка задачи стратегического планирования

К задачам стратегического планирования относятся сложные неформализованные многокритериальные задачи принятия решений, основанные на субъективных измерениях экспертов, которые можно представить в виде иерархической декомпозиции (цели – критерии – альтернативы и т.п.). К подобного рода задачам относятся разнообразные задачи проектного планирования и прогнозирования, разработки природоохранных мероприятий, прогнозирования развития высшего образования или, скажем, цен на нефть, выдвижения кандидатов на выборы и т.п. Для решения таких задач используются различные подходы, например, метод Дельфи, методы теории многомерной полезности и т.д. Одним из наиболее современных методов решения задач принятия решений при стратегическом планировании считается метод анализа иерархий (МАИ), который объединяет лучшие стороны традиционных методов.

МАИ принадлежит к категории математических методов и основан на следующих аксиомах: парные сравнения, обоснованная шкала сравнений и обратносимметричные отношения, однородная кластеризация иерархии, иерархическая композиция, соответствие заложенных в иерархии и ожидаемых результатов. Стратегическое планирование методом МАИ - это сравнительно новый подход, отличный от сетевого планирования. Сильная сторона МАИ - важная рель экспертных знаний, а также возможность использования МАИ для определения Парето-оптимального состояния, т.е. точки, в которой лица, принимающие решение, не могут улучшить своего состояния, не ухудшив состояния других.

Рассмотрим особенности задач стратегического планирования и технологию их решения методом МАИ на примере постановки следующей задачи планирования. Семья решила купить дом. Обсудив, определили восемь критериев, которым должен удовлетворять дом (экономические, географические и физические):

k₁ - размеры дома (метраж жилой и общей площади, число комнат);

К₂ - транспортные удобства;

К₃ - окрестности (безопасность, вид, экология);

К₄ - год постройки дома;

К₅ - двор;

К₆ - оборудованность дома (удобства, мусоропровод, сигнализация и т.п.);

К₇ - потребность в ремонте;

К₈ - стоимость и условия продажи.

Задача заключается в выборе и покупке одного из трех альтернативных домов (А, Б или В).

5.2. Метод анализа иерархий

Метод МАИ основан на иерархическом представлении задачи принятия решения и поэтапном установлении приоритетов. Простейшая иерархия состоит из трех уровней: корневой вершины (цель), промежуточных вершин (критерии) и концевых вершин (альтернативы, прогнозы, сценарии). Метод включает следующие этапы:

1. Формулирование задачи и определение цели плана;

2. Построение иерархии: цель → критерии → альтернативы;

3. Построение множества матриц парных сравнений (критериев, альтернатив и т.п.), уточнение шкалы сравнения;

4. Вычисление векторов приоритетов, индексов согласованности (ИС) и отношений согласованности (ОС). Повторение пунктов 3, 4 метода для всех уровней иерархии;

5. Иерархический синтез всей иерархии.

Отметим, что приемлемым считается значение ОС около 10%, допустимым значением - 20%. Не следует сравнивать более чем (7±2) элементов иерархии на одном уровне. При большом числе критериев лучше их сгруппировать в классы. При большом числе альтернатив не всегда нужно проводить парные сравнения между ними.

Проиллюстрируем процедуру МАИ на примере поставленной выше задачи. Иерархия задачи представлена на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Дерево иерархии

После иерархического представления задачи возникает вопрос: как установить приоритеты критериев и оценить каждую из альтернатив, выявив самую важную из них? В МАИ это производится путем парных сравнений. В данном примере потребуется построить одну матрицу 8x8 для попарного сравнения всех восьми критериев между собой по отношению к цели и восемь матриц 3x3 для попарного сравнения трех домов по отношению к каждому из восьми критериев. Все матрицы должны обладать свойством обратной симметричности, т.е. a_ji=l/a_ji, где j –номер столбца, i - номер строки.

Какова шкала сравнений и чему равны а_ij? - В МАИ рекомендуется следующая шкала относительной важности, которая оказалась не только эффективной на практике, но и обоснована теоретически:

1 - равная важность; 3 - умеренное превосходство; 5 - существенное превосходство; 7 - значительное превосходство; 9 - очень сильное превосходство; 2,4,6,8 - промежуточные значения превосходства; 1/2, 1/3, 1/4... 1/9 обратные величины превосходства.

Заполнение матриц происходит путем опроса или экспертных оценок. При сравнении критериев по отношению к цели обычно спрашивают, какой из них более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию - какая из них более желательна; при сравнении сценариев прогноза событий'- какой из сценариев более вероятен. Внесем уточнение: сравниваются i- я строка матрицы с j-м столбцом, и если строка важнее, то элемент матрицы а_ji равен целому числу от одного до девяти; в противном случае - дробному числу от 1/2 до 1/9. Диагональные элементы матрицы а_i,i =1. Симметричные элементы матрицы а_ji=1/а_ji. В случае спорных оценок можно брать среднее геометрическое значение, решающим фактором является лишь согласие участников опроса по цели.

Вернемся к поставленной задаче о покупке дома. Чтобы понять дальнейшие рассуждения, дадим краткое описание альтернативных домов.

дом а. Большой, с хорошими окрестностями. Двор больше, чем у домов Б и В, необходим основательный ремонт. Дорогой.

дом б. Размеры меньше, чем у дома А. Расположен вдали от остановок общественного транспорта. Не полностью оборудован, но в отличном состоянии и дешевый.

дом в. Маленький, но в хорошем состоянии, рядом парк. Двор больше, чем у дома Б, но меньше, чем у дома А. Недорогой, но и не дешевый.

Пусть в peзультате опроса и согласования мнений семьи была составлена матрица попарного сравнения критериев между собой по отношению к цели:

Цель	К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8
К1	1	5	3	7	6	6	1/3	1/4
К2	1/5	1	1/3	5	3	3	1/5	1/7
К3	1/3	3	1	6	3	4	6	1/5
К4	1/7	1/5	1/6	1	1/3	1/4	1/7	1/8
К5	1/6	1/3	1/3	3	1	1/2	1/5	1/6
К6	1/6	1/3	1/4	4	2	1	1/5	1/6
К7	3	5	1/6	7	5	5	1	1/2
К8	4	7	5	8	6	6	2	1

Далее, сравнивается, насколько хорош тот или иной дом по каждому из восьми критериев. В результате опроса и согласования мнений членов семьи были получены следующие восемь матриц:

_К1_|__А___Б___В_ _К2_|__А___Б___В_ _К3_|__А___Б___В_

А | 1 6 8 А | 1 7 1/5 А | 1 8 6

Б | 1/6 1 4 Б | 1/7 1 4 Б | 1/8 1 1/4

В | 1/8 ¼ 1 В | 5 8 1 В | 1/6 4 1

_К4_|__А___Б___В_ _К5_|__А___Б___В_ _К6_|__А___Б___В_

А | 1 1 1 А | 1 5 4 А | 1 8 6

Б | 1 1 1 Б | 1/5 1 1/3 Б | 1/8 1 1/5

В | 1 1 1 В | 1/4 3 1 В | 1/6 5 1

_К7_|__А___Б___В_ _К8_|__А___Б___В_

А | 1 1/2 1/2 А | 1 1/7 1/5

Б | 2 1 1 Б | 7 1 3

В | 2 1 1 В | 5 1/3 1

Возникает вопрос: что означают все эти числа и как они помогут определить тот дом, который следует купить? Из сформированных матриц парных сравнений определим векторы локальных приоритетов, которые отражают влияние элементов нижних уровней иерархии на элементы верхних уровней. Для этого необходимо вычислить собственный вектор каждой из матриц, а затем нормализовать их к единице. Это и будет вектор локальных приоритетов. Отметим, что вычисление вектора собственных значений матрицы - это алгоритмически простая, но вычислительно трудоемкая процедура. Существуют приближенные методы поиска собственных значений. Лучшим из них является метод среднего геометрического, когда вычисление собственных значений матрицы размером (n×n) заменяется вычислением среднего геометрического в каждой строке матрицы путем перемножения всех элементов строки и извлечения из произведения корня n-ой степени. Полученный таким образом вектор собственных значений нормализуется к единице путем деления каждого собственного значения на сумму всех чисел вектора собственных значений. Это позволяет определить "вес" приоритета. Другим полезным показателем является ИС. Он вычисляется следующим образом. Вначале суммируются элементы каждого столбца матрицы парных сравнений. Далее, сумма j-гo столбца умножается на j-й элемент нормализованного вектора приоритетов. Наконец, все полученные n чисел суммируются, и эта сумма равна h_max. После этого вычисляется ИС по формуле:

ИС = ( h_max – n ) / ( n – 1 )

Отметим, что для обратносимметричных матриц всегда h_max ≥ n.

Чтобы получить ОС, необходимо сравнить величину ИО с той, которая получилась бы при случайном формировании сбратносимметричной матрицы размером n х n из чисел указанной выше шкалы сравнения. Известны экспериментально полученные значения случайной согласованности в зависимости от размера обратносимметричной матрицы (табл. 5.1).

Таблица 5. 1

Размер матрицы (n) | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

---------------------------------------|-------------------------------------------------------------------------

Случайная согласованность | 0 0 0,58 0,9 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49

Если разделить ИС на случайную согласованность матрицы того же размера, то получим ОС. Отметим, что для матриц с n=7,8,9… зачастую затруднительно достигнуть высокого уровня согласованности даже после пересмотра соответствующих матриц. Хотя, например, при сравнении воздействия новых лекарств на организм необходимо стремиться к очень высокому уровню согласованности мнений экспертов.

После этого переходим к заключительному этапу МАИ - иерархическому синтезу приоритетов, начиная с верхних уровней в направлении к нижним уровням. Для этого необходимо сформировать вектор глобального приоритета. Элементы этого вектора получают путем умножения локальных приоритетов низшего уровня на приоритет критерия стоящего выше уровня с последующим суммированием полученных произведений по всем критериям. В результате получаем значение глобального приоритета по каждой из альтернатив.

Для иллюстрации сказанного выше вернемся к контрольному примеру. Вектор локальных приоритетов для матрицы n=8 уровня 2, а также параметры h_max,ИC и ОС имеют значения: (0,173; 0,054; 0,188; 0,018; 0,031; 0,036; 0,167; 0,333), h_mах = 9,569, ИС = 0,238, ОС = 0,169 (≈17%). Семья не стала пересматривать матрицу парных сравнений критериев, хотя ОС оказалось несколько хуже, чем хотелось бы. Как интерпретировать эти локальные приоритеты ? Стоимость и условия продажи дома К₈(0,333) - воспринимаются как наиболее важный критерий, он в два раза важнее размеров дома (0,173) и намного важнее года постройки (0,018). Вообще говоря, после этого можно сократить число критериев до трех или четырех, выбрав наиболее приоритетные из них. С этой целью необходимо найти сумму критериев и вновь нормализовать сокращенный вектор к единице. Однако, решая вопрос об исключении каких-то критериев после первых вычислений, следует быть предельно осторожным. Для рассматриваемого примера сохраним все критерии.

Определим теперь векторы локальных приоритетов для матрицы уровня 3 и используем принцип иерархического синтеза при получении глобальных приоритетов для каждой альтернативы. Результаты вычислений сведем в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Критерии	К1	K2	К3	К4	К5	К6	К7	К8	Глобальный приоритет
Приоритет Критериев	0,173	0,054	0, 188	0,018	0, 031	0, 036	0,167	0,333
А	0,754	0,233	0,745	0, 333	0,674	0,747	0,2	0,072	0, 396
Б	0, 181	0,005	0, 065	0, 333	0, 101	0,06	0,4	0,65	0,341
В	0, 065	0,713	0, 181	0,333	0,226	0, 193	0,4	0,278	0, 263
hmах	3, 136	3,247	3,133	3,0	3,086	3, 197	3,0	3, 065
ИС	0, 068	0, 124	0,068	0,0	0,043	0,099	0,0	0,032
ОС	0, 117	0,213	0,117	0,0	0,074	0, 170	0,0	0,056

Затем, вычисляется вектор глобального приоритета. Например, вычислим глобальный приоритет для дома А:

0,754*0.173 + 0,233*0,054 + ... + 0,072*0,333 = 0,396 .

Таким образом, дом А, который был наименее желателен с финансовой точки зрения, вопреки ожиданиям оказался победителем и рекомендован к покупке. Между тем этот неочевидный успех неудивителен, поскольку дом А превосходил остальные альтернативы по четырем из восьми критериев.