• Точность измерений, абсолютные и относительные критерии оценки точности измерений

Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.Абсолютная погрешность — ΔX является оценкой абсолютной ошибки измерения. Величина этой погрешности зависит от способа её вычисления, который, в свою очередь, определяется распределением случайной величины Xmeas. При этом неравенство: ΔX > | Xmeas − Xtrue | , где Xtrue — истинное значение, а Xmeas — измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина Xmeas распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.Относительная погрешность — погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины . Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

• СКП Формула Гаусса

Наилучшим критерием  оценки  точности  измерений  принято  считать среднюю квадратическую  погрешность  (СКП) измерения,  определяемую по формуле Гаусса:   

где Δi=li-X  (Х - истинное значение измеряемой величины, а li - результат измерения).

Формула Бесселя

Так как,  в большинстве случаях истинное значение  неизвестно,  то СКП определяют по формуле Бесселя:

Где i=li-х (х - средняя арифметическое значение или  вероятнейшее значение измеряемой величины, а li - результат измерения).

• Двойные измерения

В практике геодезических работ часто одну и ту же величину измеряют дважды. Например, стороны теодолитного хода в прямом и обратном направлении, углы двумя полуприемами, превышения – по черной и красной стороне вех. Чем точнее произведены измерения, тем лучше сходимость результатов в каждой паре.

mlср. = ½ √∑d2/n ,где d – разности в каждой паре; n– количество разностей.

Формула Бесселя:

mlср = ½ √∑d2/n-1

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометрическому условию, например, сумма внутренних углов треугольника должна быть 180˚, то точность измерений можно определить по невязкам получающимся в результате погрешностей измерений.

μ=√∑ [f2 /n]/N,где - СКП одного угла;f – невязка в полигоне;N – количество полигонов;n – количество углов в полигоне.

• Неравноточные измерения

Если измерения выполнялись не в одинаковых условиях, то результаты нельзя считать одинаково надежными. Такие измерения называют неравноточными. Например, один и тот же угол можно измерить точным и техническим теодолитом. Результаты данных измерений будут неравноточными.

Мерой сравнения результатов при неравноточных измерениях, т.е. мерой относительной ценности полученных неравноточных результатов является вес результата измерения.

Чем надежнее результат, тем больше его вес. вес определяется как величина обратная квадрату средней квадратической ошибки

Если, например, имеется два неравноточных значения длины линии 220,35 ± 0,1 м, 220,35 ± 0,2 м, то в качестве весов Р1 и Р2 могут быть приняты числа:

Разделив, получим р1 = 4 и р2 = 1. Т.к р1 > р2 , то первое измерение более точное. Допустим имеется ряд равноточных результатов измерений , для которых рассчитаны средняя квадратическая ошибка m, среднее арифметическое ряда измерений и средняя квадратическая ошибка М. На основании определения веса, весом p отдельного измерения и весом арифметической средины P будут Умножив веса на m 2 , имеют Р = 1, Р = n , следовательно, вес арифметической средины больше веса отдельного измерения в n раз, n – число измерений, из которых вычислена данная арифметическая средина.

• Средняя квадратическая ошибка единицы веса

Средние квадратические ошибки неравноточных измерений различны, поэтому для оценки точности таких измерений выбирают общую меру. Такой мерой является средняя квадратическая ошибка такого измерения, вес которого равен единице.

Следует отметить, что величина М (средняя квадратическая ошибка веса) может относится к воображаемому измерению, если среди результатов нет ни одного с весом равным единице. Установим связь между средней квадратической ошибкой единицы веса М и средней квадратической ошибкой результата измерений с весом

• Метод полигонометрии

Полигонометрия (от греч. polýgonos – многоугольный) – один из методов определения взаимного положения точек земной поверхности для построения опорной геодезической сети служащей основой топографических съёмок, планировки и строительства городов,перенесения проектов инженерных сооружений в натуру и т.п. Положения пунктов в принятой системе координат определяют методом полигонометрии путём измерения на местности длин линий, последовательно соединяющих эти пункты и образующих полигонометрический ход, и горизонтальных углов между ними. Так, выбрав на местности точки 1, 2, 3, …, n, n + 1 измеряют длины s1, s2,..., sn. линий между ними и углы 2, 3,..., n между этими линиями. Как правило, начальную точку 1 полигонометрического хода совмещают с опорным пунктом Рн, который уже имеет известные координаты хн, ун и в котором известен также исходный дирекционный угол н направления на какую-нибудь смежную точку Р'н. В начальной точке полигонометрического хода, т. е. в пункте Рн, измеряют также примычный угол 1 между первой стороной хода и исходным направлением РнР’н. Тогда дирекционный угол i стороны i и координаты xi+1, yi+1 пункта i + 1 полигонометрического хода могут быть вычислены по формулам:

i = н + ir=1r - i 180 xi+1 = хн + ir=1srcosr yi+1 = ун + ir=1srsinr.Для контроля и оценки точности измерений в полигонометрическом ходе его конечную точку n + 1 совмещают с опорным же пунктом Pk, координаты xk, yk которого известны и в котором известен также дирекционный угол k направления на смежную точку P'k. Это даёт возможность вычислить т. н. угловую и координатные невязки в полигонометрическом ходе, зависящие от погрешностей измерения длин линий и углов и выражающиеся формулами:

f = n+1 - k,

fx = xn+1 - xk,

fy = yn+1 - yk.

Эти невязки устраняют путём исправления измеренных углов и длин сторон поправками, которые определяют из уравнивания по методу наименьших квадратов.

Рис. 68. Схема триангуляции (а) и полигонометрии (б).