32. Евклидовы и унитарные пространства, скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского.

Евклидовым пространством называется действительное линейное пространство с введенным на нем скалярным произведением.

Унитарным пространством называется комплексное линейное пространство с введенным на нем эрмитовымскалярным произведением.

Скалярное произведение отвечает аксиомам:

1. (х,у)=(у,х)

2. (х₁+х₂,у)=(х₁,у)+(х₂,у)

3. (λх,у)=λ(х,у)

4. (х,х) 0

Эрмитово скалярное произведение то же самое что и скалярное произведение, но в начале стоит f.

Неравенство Каши-Буняковского:

(х₁у₁+х₂у₂+…+х_ny_n)²

|x*y| |x|*|y|

|x+y| |x|+|y|

33. Ортогональные системы векторов. Ортогонализация.

Система векторов называется ортогональной, если 2 ее различных вектора ортогональны.

Процессом ортогонализации называется построение системы базисов h₁,…,h_m по формуле.

34. Ортогональное дополнение подпространства.

V – линейное пространство, U его подпространство.

Ортогональным дополнением подпространства U пространства V называется множество всех векторов из V, ортогональных в U.

35. Сопряженное пространство. Двойственных базис.

Пусть V линейное пространство над полем Р. Заметим, что само поле Р так же является одномерным линейным пространством над полем Р, поэтому можно рассматривать f:VP

Операторы, которые действуют в пространство Р называют функционалом.

Множество всех линейных функционалов с операциями сложения и умножения на число образуют линейное пространство и называется сопряженным пространством V.

1. Если dimV=ndimV^*=n

2. Если е={e₁,…,e_n} базис V, то ĕ={e¹,…,eⁿ} базис V^*

Базис ĕ называют двойственным базису е.

36. Основные примеры групп. Конечные группы. Теорема Кэли.

(G,*) называется группой, если:

1. * бинарная операция на множестве G

2. (ab)c=a(bc)

3. Существует е, такое, что ае=еа=а

4. Существует а^-1,такое, что аа^-1= а^-1а=е

5. Группа называется абелевой, если аb=ba.

Конечной группой называется группа, состоящая из конечного числа элементов (порядок).

Т. Кэли – любая конечная группа порядка n, |G|=n изоморфна некоторой подгруппе группы подстановок S_n.

37. Циклические группы. Подгруппы циклической группы.

Циклической подгруппой, порожденной элементом а G группы G, называется группа <a>={aⁿ, n }. Если существует а: G=<a>, G-порождающий элемент.

Порядком элемента g (ord g) называют наименьшее из натуральных чисел m N, g^m=e, либо бесконечность, если такого m не существует.

38. Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.

Пусть g₁,g₂ G, HcG.

Предположим g_{1 ~} g₂,если:

1. g₂^-1g₁ H, или

2. g₂ g₁H, или

3. существует h H, g₁=g₂H

Таким образом, множество всех элементов группы G разбивается на классы. Множество элементов, ~ элементу g имеет вид: [g]=gh={gh;h H}

Это множество называется левым смежным классом элемента g по подгруппе H.

Аналогично для правого смежного класса.

Теорема Лагранжа: Пусть G конечное множество, H его подмножество. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество правых и левых смежных классов.