9. Простые числа. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение. Сравнения.

Натуральное число р>1 называют простым, если оно не имеет натуральных делителей, кроме 1 и самого себя

Пусть а>1 N, тогда:

1. а-простое

2. или а имеет простой делитель

3. если а-составное, то наименьший из его делителей-простое число и не превосходит

Учитывая, что при разложении натурального числа на простые сомножители эти сомножители могут повторяться, получаем каноническое разложение а.

a=

p₁ … p_mразличные простые числа

Говорят, что а сравнимо с bпо |m| (a b(modm)), если:

1. aи bдают одинаковые остатки при делении на m

2. или a-b m

10. Кольца вычетов. Решение сравнений.

1. Z/mкоммутативное кольцо с единицей называется кольцом вычетов.

2. Z_m={0, 1, … , m-1}

a+b=r_m(a+b)

a*b=r_m(a*b)

Z_m~Z/m (Z_mкольцо вычета по модулю m)

Решение сравнений:3x¹⁵+17x⁴+9x+5 1 (mod 4). Это сравнение можно решать методом испытаний абсолютно наименьших вычетов.

(0,1,2,3 – перебирают эти числа в данном случае и подставляют в исходное сравнение)

-x¹⁵+x⁴+x+1 1 (mod 4)

-x¹⁵+x⁴+x 0 (mod 4)

0: |-0+0+0 0

1: |-1¹⁵+1⁴+1 1

2: |-2¹⁵+2⁴+2 0+0+2 2

3: |-3¹⁵+3⁴+3 (-3)¹²*(-27)+1+3=-27+4=-23

3⁴=81 1 -3 1

x 0 (mod 4)

x= 4k+0, k Z

11. Числовые функции. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.

Функция Ѳ: NNназывается мультипликативной, если:

1. Ѳ(1)=1

2. для любых m,n: (m,n)=1

Ѳ(m,n)= Ѳ(m)* Ѳ(n)

Рассмотрим функцию NN:

1. число всех натуральных делителей натурального числа n (τ(n))

2. сумма всех натуральных делителей натурального числа n(σ(n))

3. число всех натуральных чисел, не превосходящих nи взаимно простых с ним (φ(n))

Функция Эйлера:

пусть n= каноническое разложение натурального числа n, тогда:

1. τ(n)=(α₁+1)*…*(α_m+1)

2. σ(n)= *…*

3. φ(n)=(

Теорема Эйлера и Ферма: пусть (a,m)=1, тогда a^φ(m) 1(modm)

Пример: 3¹²⁹ 35

(3,35)=1

35=5*7 φ(35)=35(1 - )(1 - )=24

3²⁴ 1 (mod 35)

3¹²⁹=3^24*5+9 (1)⁵*3⁹

3⁴ 81 11

3⁹ 11²*3=121*3 16*3=48 13

12. Матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Приведение к ступенчатому виду.

13. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.

1. Выписываем расширенную матрицу

2. Приводим к ступенчатому виду

3. Выражаем X

14. Операции над матрицами, их свойства.

1. Сложение матриц

2. Вычитание матриц

3. Умножение матрицы на число

4. Транспонирование матриц

Свойства сложения:

1. (A+B)+C=A+(B+C)

2. A+B=B+A

3. α(βA)=(αβ)A

4. (α+β)A=αA+βA

5. α(A+B)=αA+αB

6. 0*A=0

Свойства умножения:

1. (AB)C=A(BC)

2. (A+B)C=AC+BC

A(B+C)=AB+AC

3. (AB)^t=A^t*B^t

4. AE=EA=A

5. λ(AB)=(λA)B

6. 0*A=0

A*0=0

7. (A+B)^t=A^t+B^t

8. (αA)^t=αA^t

15. Определители. Основные свойства. Вычисление определителей элементарными преобразованиями.

Свойство 1: При транспонировании определитель не меняется

Свойство 2: При перемене местами строк или столбцов меняется знак определителя

Свойство 3: Если в определителе есть нулевая строка или нулевой столбец, то определитель равен 0

Свойство 4: Если какая-либо строка в определителя представлена суммой элементов, то этот определитель можно представить суммой определителей.

Свойство 5: Если в определителе к одной строке прибавит другую, умноженное на число, то определитель не изменится.

Свойство 6: Если в определителе элементы какой-либо строки(столбца) умножить на число, то и весь определитель умножится на это число.

16. Разложение определителя по строке или столбцу. Теорема Лапласа. Определитель произведения квадратных матриц.

Теорема Лапласа: Пусть в определителе n-ого порядка выбрано к строк.

M₁…M_Lминоры содержащие эти к строк

A₁…A_L их алгебраические дополнения

тогда определитель равен M₁A₁+… +M_LA_L

17. Обратная матрица. Присоединенная матрица. Матричная запись СЛУ. Правило Крамера.

Обратной матрицей матрицы А называется матрица В, такая что АВ=ВА=Е

Присоединенной матрицейНазывается матрица А^v состоящая из алгебраических дополнений.

Правило Крамера:

1. Выписывается расширенная матрица

2. Элементарными преобразованиями приводится к ступенчатому виду

3. выражаются значения

18. Вычисление обратной матрицы элементарными преобразованиями

1. Справа приписывается единичная матрица

2. Элементарными преобразованиями приводим к ступенчатому виду

3. Приводим к виду, пока с левой стороны не получится единичная матрица

19. Линейные пространства. Линейная зависимость. Линейная оболочка.

Пусть задано произвольное множество V, и произвольное поле Р.

Множество Vназывается линейным пространством над полем Р, если:

1. Если на Vопределена операция +

2. Если на Vопределена операция *

Эти операции определяются 8 свойствами:

1. (a+b)+c=a+(b+c)

2. a+b=b+a

3. a+0=0+a=a

4. для aсуществует –aтакое что, a+(-a)=0

5. α(βa)=(αβ)a

6. 1*a=a

7. α(a+b)=αa+αb

8. (α+β)a=αa+βa

Линейная комбинация нескольких векторов называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны 0.

Линейная комбинация нескольких векторов называется нетривиальной, если хотя бы один изее коэффициент не равен 0.

Векторы x₁,x₂…,x_kназываются линейно-зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. Т.е. существуют числа α₁…α_к, такие что , что

Векторы x₁,x₂…,x_kназываются линейно-независимыми, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору. Т.е. из соотношения  =0

Линейной оболочкой векторов {a₁,…,a_k} называется множество всех линейных комбинаций этих векторов.

20. Размерность линейного пространства. Базис

e={e₁,…,e_n}линейного пространства Vназывается базисом, если:

1. Система этих векторов линейно-независима

2. x€Vможно представить в виде линейной комбинации этих векторов

Говорят, что линейное пространство Vимеет размерность n, если в Vесть базис из nвекторов.

21. Ранг системы векторов. Ранг матрицы. Ранг произведения матриц.

Рангом системы векторов называется число векторов в базисе.

Рангом матрицы называется:

1. Наибольший порядок, отличных от 0 миноров матрицы

2. Ранг системы столбцов матрицы

3. Ранг системы строк матрицы

22. Координаты вектора. Преобразования координат при замене базиса.

Если даны координаты базиса и координаты вектора, то:

1. Выписываем матрицу из базиса

2. Находим обратную матрицу

3. Умножаем обратную матрицу на координаты вектора

23. Подпространства. Размерности суммы и пересечения. Прямая сумма

V – Линейное пространство

U₁…U_kего подпространство

Множество Wназывают прямой суммой подпространств U₁и U_k, если для любых w существует однозначное определение u₁ U₁, u₂ U₂

Dim(U+V)=dimU+dimV-dim(U V)

24. Критерий совместности СЛУ. Однородные СЛУ. Фундаментальная система решений.

Система совместна ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы

Система однородная, если имеет вид Ах=0 и неоднородная, если Ах=b, b 0

Размерность dimU=n-r(A), n-число неизвестных

ФСР нужна когда надо найти множество решений СЛУ.

25. Факторпространство. Базис факторпространства.

Множество с заданной на нем отношением эквивалентности называется фактормножеством.

Базис фактор-пространства.

Предложение: в конечномерном пространстве любую ЛНЗ систему векторов f1..fkможно дополнить до базиса, то есть добавить векторы g1..ge, чтобы объедененнаясистемаявлялась базисом.

26. Линейные операторы. Пространство линейных операторов. Обратный оператор.

X, Y – линейное пространство над полем Р

f: X->Yназывают линейным оператором, если:

1. Для любых x₁,x₂ X

f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂)

2. Для любых x Xи для любых Р

f(αx)=αf(x)

f(αx₁+βx₂)=αf(x₁)+βf(x₂)

Пространство линейных операторов:

(f+g)(x)=f(x)+g(x) для любых х Х

(αf)(x)=αf(x) для любых х Х, для любых Р

27. Матрица линейного оператора. Матрица суммы и произведения операторов. Изменение матрицы при переходе к новому базису.

Пусть х, у линейные пространства.Fлинейный оператор.

е={e₁,…,e_n} базис х

h={h₁,…,h_m} базис у

f(e_i) по базису h

A= – Матрица оператора fотносительно базисов eи h

Произведение и сумма линейных операторов

f,g: xx –линейный оператор. е={e₁,…,e_n}базис х

A~fB~gв базисе е, тогда:

1. f+g ~ A+B

2. αf ~ αA

3. fg ~ AB

пусть f: xx– линейный оператор, е,е` базисы пространства Х

Сматрица перехода от е к е`

А матрица оператора fв eA`=C^-1AC

28. Изоморфизмы линейных пространств.

Линейные пространства L₁и L₂называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, такое, что x₁x₂, y₁y₂, где x₁,y₁ L₁, x₂,y₂ L₂, то сумма x₁+y₁x₂+y₂, а αx₁αx₂при любом α числе.

Конечномерные линейные пространства над одним и тем же полем изоморфныкогда равны их размерности.

29. Ядро и образ линейного оператора, их размерности.

х,у линейные пространства. f:xyлинейный оператор.

е=(е₁,е₂,…,е_n) базис х

h=(h₁,h₂,…,h_m) базис у

Ядром оператора fназывается множество:

Kerf=f^-1(0)={x X:f(0)=0}cX

Образом оператора fназывается множество его значений:

Imf=f(x)={f(x):x X}={y Y: x X: f(x)=y}

f: xyлинейный оператор:

1. dimKer=n-rankf

2. dimIm=rankf

rankf=A`

A`=C^-1AC

30. Инвариантные подпространства. Матрица оператора, имеющего инвариантные подпространства.

f: xyлинейный оператор

Подпространство Uпространства Х называется инвариантом относительно f, если f(U)cU

Пусть f: xyлинейный оператор, тогда матрица оператора fв некотором базисе имеет вид когда Х=U V, Uи Vинвариантны относительно f

31. Характеристический многочлен. Собственные векторы и собственные значения оператора.

Характеристическим многочленом квадратной матрицы А_n*nназывается

Р(λ)=|A-λ |=|λ -A|

1. Р(λ) многочлен степени n

2. |A|=(-1)ⁿa_n

3. След – сумма элементов диагонали

4. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают

Характеристическим многочленом(определителем,следом) линейного оператора fназывается характеристический многочлен(определитель,след) его матрицы в некотором базисе.

f: xxлинейный оператор. Собственным вектором оператора fназывается, соответствующий собственному многочлену λ, называют не нулевой вектор h, такой, что f(h)=λh.

Собственными значениями оператора fявляются все его корни характеристического многочлена, принадлежащие основному полю Р.

λ: (А-λ )(х)=0