Часть №2

Пример 1.

Найдем частные производные:

Найдем полный дифференциал: ;

Пример 2.

Найдем полный частные производные:

Найдем полный дифференциал:

Пример 3.

Вычислить частные производные:

Пример 4.

Вычислим приближенно с помощью дифференциала значение выражения: .

Формула для приближенного значения выражения через дифференциал имеет вид:

, (5)

(здесь дает выражение дифференциала функции в точке .

Для применения формулы необходимо составить функциональное выражение, выбрать , в которых значение функции и ее производных хорошо вычисляются;

В нашем случае если образовать функцию , то задание сводится к тому, чтобы вычислить значение этой функции в точке . За начальные значения функции примем ;

тогда приращения аргументов соответственно будут равны: .

Находим частные производные: ;

Вычисляем значения функции и ее производных в :

; .

Подставляя найденные значения в формулу (5), получаем:

Пример 5

Вычислить приближенно с помощью дифференциала.

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то

Выберем:

Тогда:

Вычисляем:

Получаем:

Часть №3

Вычислить частные производные и полные дифференциалы от заданной функции:

1)

Ответ: ;

2)

Ответ:

3)

Ответ: =(

4)

Ответ:

5)

Ответ:

Найти частные производные и полный дифференциал функции 3x переменных в точке M .

6) . В точке

Ответ:

7) В точке

Ответ:

Функция задана в полярной системе координат.

Найти частное производное:

8)

Ответ:

9) Для функции , найти уравнение какой-то плоскости в точке

Ответ:

10) Вычислить приближенно величину ; исходя из функции

Ответ:

11) Вычислить приближенно величину ; исходя из функции

Ответ:

12) Вычислить приближенно величину ; исходя из функции

Ответ:

13) Вычислить приближенно величину ; исходя из функции

Ответ:

14) Вычислить приближенно величину ; исходя из функции

Ответ:

15) Дана функция Найти точное и приближенное значение в т.B и относительную погрешность вычисления.

Ответ:

16) На сколько увеличится объем цилиндра, если его радиус (R=4 см) и высота (H=20 см) увеличатся на величину (k=0,1 см).

Ответ:

Точное решение:

Приближенное решение:

Относительная погрешность вычислений:

Список литературы.

1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., 1995.

2. Щипачев В.С. Высшая математика. М., 2001.

3. Высшая математика для экономистов. Под редакцией Кремера Н.Ш., М., 1997.

4. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под редакцией Ермакова В.И. М., 2002.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. М., 2001.

6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. I, II ч. – М.: Рольф, 2002. – 288 с.; 253 с.

7. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс.; 2 курс. – М.: Рольф, 2001. – 576 с.; 542 с.

8. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2ч. – М.: Высш. шк. т. 1. – 1999. – 304 с.

9. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2002. – 479 с.

10. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа,