15) Замена плоскостей проекций осуществляется последовательно. Рассмотрим замену одной плоскости проекций. Пусть дана одна пара плоскостей проекций п1 и п2 (рисунок 6

С проецируем какую-либо точку А на эти плоскости и определим её проекции А₁ и А₂. Возьмём новую плоскость проекций П₄, перпендикулярную к плоскости П₁, и спроецируем точку А на эту плоскость, обозначив полученную проекцию А₄. Как видно из рисунка 3.1, пара А₁ и А₄ при заданном положении плоскостей проекций П₁ и П₄ определяет в пространстве точку А.

Таким образом, мы имеем проекции точки А в старой системе (П₁, П₄) и её проекции в новой системе (П₁, П₄).

Очевидно, что обе системы абсолютно равноправны (обе фронтальные плоскости П₂ и П₄ перпендикулярны к П₁). Поэтому свойства, установленные ранее для системы (П₁, П₂) можно полностью перенести на систему (П₁, П₄). Чтобы от чертежа, выполненного в старой системе, перейти к чертежу, выполненному в новой системе, надо установить, какие из свойств остаются инвариантными (неизменными) при таком переходе от старой системы к новой. Очевидно, это будут те свойства проекций, которые связаны лишь с неподвижной плоскостью П₁, т.е. остаются неизменными:

1)горизонтальная проекция А₁ точки А;

2)высота точки А: А₁А=А₁₂А₂=А₁₄А₄₌h^А.

Аналогично можно заменить горизонтальную плоскость проекций П₁ новой плоскостью П₅, которая перпендикулярна остающейся плоскости проекций П₂ в соответствии с рисунком 65. При этом мы имеем проекции точки В(В₁, В₂) в старой системе (П₁, П₂) и её проекции в новой системе В(В₂, В₅) в новой системе (П₂, П₅). В этом случае остаются неизменными следующие свойства проекций:

1)фронтальная проекция В₂ точки В;

2)глубина точки В: В₂В=В₁₂В₁= В₂₅В₅=v^B.

На рисунке 66 показана операция перехода от системы (П₁, П₂) к системе (П₁, П₄) на комплексном чертеже.

Проведём новую ось х₁₄ и построим точку А₁₄, опуская перпендикуляр из точки А₁ на ось х₁₄. На этом перпендикуляре откладываем отрезок А₁₄А₄=А₁₂А₂=h^А. Полученная таким образом точка А₄ является проекцией точки А на плоскость П₄. О₁₂₄ – точка, у которой все три проекции совпадают.

Операция перехода от системы (П₁, П₂) к системе (П₂, П₅) на комплексном чертеже показана на рисунке 67. Линия связи В₂В₅ перпендикулярна к новой оси х₂₅.

16) Способ получения однопроекционного обратимого чертежа называется аксонометрическим. Он даёт более наглядное изображение объекта.

Аксонометрический чертёж состоит только из одной параллельной проекции данного объекта, дополненной проекцией пространственной системы координат, к которой предварительно отнесён изображаемый объект.

Выберем в пространстве некоторую прямоугольную систему осей координат Оxyz (натуральную систему) и точку А, жёстко связанную с этой системой. Отложим на каждой из осей координат отрезок е, который назовём натуральным масштабом, и обозначим полученные отрезки соответственно через е_х, е_y, е_z в соответствии с рисунком 17.

Измерив расстояние точки до координатных плоскостей единичным отрезком е, получим три натуральные координаты точки, которые определяют её положение относительно данной системы координат.

Спроецируем параллельно по заданному направлению s точку А вместе с системой отнесения на некоторую плоскость П, которая называется аксонометрической (картинной) плоскостью проекций. Тогда О x y z – аксонометрическая система координат; проекции единичных отрезков на оси Ox, Oy, Oz, обозначенные через е’_х, е’_y, e’_z – аксонометрические масштабы; А – аксонометрическая проекция точки А; А₁ – аксонометрическая проекция проекции точки А на координатную плоскость хОу, она называется вторичной проекцией.

В зависимости от направления проецирования получают параллельную косоугольную или прямоугольную аксонометрию.

Положение точки А относительно системы координат Охуz определяется её натуральной координатной ломаной ОА_хА₁А. Зная натуральные единичные отрезки, определим натуральные координаты точки А:

При параллельном проецировании величины отношений отрезков прямой сохраняются, поэтому

Основное свойство аксонометрических проекций: аксонометрические координаты точки, измеренные аксонометрическими масштабами, численно всегда равны координатам точки.

Аксонометрические проекции принято подразделять на триметрические, когда все три аксонометрических масштаба различны, диметрические, когда равны два из них, и изометрические, когда все три масштаба одинаковы.

Для большего удобства построений в аксонометрии вводится понятие показателей искажения. Показателем искажения называют отношение аксонометрического масштаба к соответствующему натуральному.

Обозначив через p показатель искажения по оси Ох, через q – показатель искажения по оси Оy и через r – показатель искажения по оси z, можно написать:

Триметрические проекции: prq, диметрические проекции: p=rq, изометрические проекции: p=r=q.

Показатели искажения в косоугольной аксонометрии связаны следующей зависимостью:

p²+q²+r²=2+ctg², p²+q²+r²=2.

где  - угол наклона направления проецирования к плоскости проекций П.

Так как обычно мы рассматриваем предметы, расположенные прямо перед глазом, то прямоугольная (ортогональная) аксонометрия в большей степени, чем косоугольная, удовлетворяет условию наглядности изображения. В прямоугольной аксонометрии угол =90º, ctg=0, тогда зависимость показателей искажения следующая: