- •1.Оценивание одной функции. Прямая задача.
- •Задачи:
- •1 . Найти ковариационную матрицу и коэффицент корреляции для определения координат в однократной линейной засечке при , , а базис безошибочен и имеет значение .
- •Предрасчёт точности результатов измерений. Задача проектирования.
- •Задачи:
- •Задача на совместный учёт систематического и случайного влияний.
Министерство Образования РБ
УО «Полоцкий Государственный Университет»
кафедра геодезии и кадастров
Лабораторная работа №3
Оценивание результатов косвенных измерений
Вариант 14
Выполнил: Лисенкова О.С.
Проверил: доц. Дегтярев А.М.
Новополоцк,2010
1.Оценивание одной функции. Прямая задача.
При оценке точности косвенных измерений по известной функции связи задача ставится следующим образом: найти среднюю квадратическую погрешность функции известного вида , если даны погрешности её аргументов . С использованием правил нахождения дисперсии от произвольной функции находим окончательный вид оценки для дисперсии D исходной функции F. В результате получаем следующую формулу :
где (i=1,2,3,…,n; j=1,2,…,k).
С учётом того, что ковариация связана с погрешностями m и коэффициентом корреляции r как , а дисперсия равна , для коррелированных измерений в соответствии с (1), имеем:
Если связи между i-тым и j-тым измерениями не существует (или она не значительна), то в формуле (2) отсутствует второе слагаемое.
Используя матричные обозначения, дисперсию функции можно представить в виде
Эта формула является выражением фундаментальной теоремы переноса ошибок. Здесь вектор-строка f из значений частных производных от функции F по i-тому аргументу:
,
а ковариационная матрица результатов измерений, где диагональные элементы – дисперсии i-го измерения, недиагональные – ковариации.
Задачи:
1.Среднее значение угла из четырёх приёмов имеет среднюю квадратическую погрешность 2˝. Определить погрешность угла, полученного при тех же условиях из 9 приёмов, и допустимую невязку в 9-угольнике.
Решение: Погрешность измерения угла n приёмами: = ,где - погрешность измерения угла одним приёмом. Тогда
Подставив значения, при n=4 получим: =4˝
Значит погрешность измерения угла 9 приёмами:
= =1,33˝
Допустимое значение невязки в k-угольнике из n приёмов определяется по формуле:
Подставив выраженное значение , получим при n=4:
, где t- вероятностный коэффициент.
Вычислим: =2 =12˝ , при t=2.
При n=9 приёмах получим : = =8˝, при t=2.
Ответ: =1,33˝; при n=4 =12˝; при n=9 =8˝.
2. Измерение угла одним приёмом даёт среднюю квадратическую ошибку, равную 15″. Какое минимальное число приёмов нужно сделать данным инструментом, чтобы получить среднюю квадратическую погрешность окончательного результата не более 5,0″?
Дано: mβ1=15″,
n1=1 приёмов,
mβ2=5″
Найти: n2-?
Решение: , отсюда m= mβ1* =15″ ,
тогда n2=m2/ mβ22=9 приёмов.
Ответ: n2=9 приёмов.
3.Определить среднюю квадратическую погрешность вычисленного объёма прямоугольного параллелепипеда, если ребра его a=10м, b=4м, c=5м измерены со соедними квадратическими погрешностями ma= mb= mc=0,06м?
Дано: ma= mb= mc=0,06м,
a=10 м,
b=4 м,
c=5 м,
Найти: mv-?
Решение: V=a*b*c
fa=dV/da=b*c=20 м,
fb=dV/db=a*c=50 м,
fc=dV/dc=a*b=40 м,
mv2= ma2(fa2+ fb2+ fc2)=0.0036*(400+2500+1600)=16,16
mv=4,02 м
Ответ: mv=4,02 м.
4. Среднее значение угла из 6 приёмов имеет среднюю квадратическую погрешность 4,0″. Определить среднюю квадратическую погрешность вероятнейшего угла, полученного из 16 приёмов при тех же условиях?
Дано: n1=6 приёмов,
n2=16 приёмов,
mβ1=4″
Найти: mβ2-?
Решение: , отсюда m= mβ1* =9,8″
9,8″/4=2,5″
Ответ: mβ2=2,5″
5. При каком угле наклона при измерении длины линии относительная погрешность поправки за наклон будет 1/2000 при измерении длины с относительной средней квадратической погрешностью 1/4000?
Дано:
Найти:φ-?
Решение: Δ=S-S*cosφ
По принципу «равных влияний»
Ответ:
2.Оценивание точности вектор-функции.
В геодезической практике часто необходимо произвести оценку не одной функции, а нескольких, описывающих совместно какой-либо процесс. Для этого составляют вектор-функцию V, в виде столбца, состоящего из k функций, определяющих процесс:
считая, что погрешности аргументов и теснота связи в виде ковариации или коэффициента корреляции известны, на следующем этапе составляется матрица плана W, состоящая из частных производных по каждой строке в вектор-функции V по всем аргументам-измерениям:
Полученная матрица W называется матрицей Якоби. Тогда, оценка вектор-функции V в виде ковариационной матрицы будет иметь вид , где - ковариационная матрица измерений.
Матрица может быть использована в промежуточных вычислениях для установления тесноты связи между элементами, которые в свою очередь связаны новой функциональной зависимостью.