Примеры расчета а.1 Применение критериев Диксона для анализа резко отклоняющихся значений

Рассматривается ряд наблюдений за среднесуточными максимальными расходами воды весеннего половодья на р. Онега — д. Надпорожский Погост с периодом наблюдений 90 лет. Анализ эмпирической кривой распределения показал, что наибольшее резко отклоняющееся от остальной совокупности значение расхода воды, равное 868 м³/с, может принадлежать иному распределению. Для проверки однородности был применен критерий Диксона и на основе ранжированного ряда определены пять расчетных статистик критерия: D1_N = 0,308, D2_N = 0,311, D3_N = 0,308, D4_N = 0,384 и D5_N = 0,404. Критические значения статистик Диксона без учета асимметрии и автокорреляции при n = 90, С_s = 0 и r(1) = 0 для a = 1 % определены по номограммам [3] и соответственно равны: D1_N*(0,0) = 0,26, D2_N*(0,0) = 0,28, D3_N*(0,0) = 0,29, D4_N*(0,0) = 0,31 и D5_N*(0,0) = 0,32. Из сравнения расчетных значений статистик с критическими следует, что D_N > D_N*(0,0) для всех критериев Диксона. Исходя из вышесказанного гипотезу об отсутствии в ряду наблюдений резко отклоняющегося значения, принадлежащего другому распределению, отклоняют. Поэтому в случае применения «классического» критерия экстремальный расход признают неоднородным и исключают его из ряда наблюдений, если подтвердится, что эта величина имеет большую погрешность, или пересчитывают его эмпирическую обеспеченность для более продолжительного периода.

Если воспользоваться критическими значениями статистик критерия Диксона, обобщенного для асимметричных и автокоррелированных рядов при вычисленных по продолжительному ряду значениях r(1) = 0,19 и С_s = 1,13, то при сравнении расчетных статистик с критическими из номограмм [3] будут иметь место следующие неравенства:

D1_N = 0,308 < D1_N* = 0,31 при a = 10 %;

D2_N* = 0,28 при a = 10 % < D2_N = 0,311 < D2_N* = 0,32 при a = 5%;

D3_N = 0,308 < D3_N* = 0,36 при a = 10 %;

D4_N* = 0,36 при a = 10 % < D4_N = 0,384 < D4_N* = 0,40 при a = 5 %;

D5_N* = 0,37 при a = 10 % < D5_N = 0,404 < D5_N* = 0,41 при a = 5 %.

Из неравенств следует, что при a = 5 % гипотезу об «аномальном» экстремуме отклоняют по всем критериям. На этом основании можно сделать вывод, что ряд не содержит неоднородного максимального значения и для определения параметров эмпирического распределения должны быть использованы все данные.

А.2 Применение критерия Смирнова — Граббса для анализа резко отклоняющихся значений

Для анализа выбраны шесть рядов среднесуточных минимальных расходов летне-осеннего сезона в районе Горного Алтая: р. Песчаная — с. Точильное, р. Урсул — с. Онгудай, р. Чарыш — с. Усть-Кумир, р. Ануй — с. Старо-Тырышкино, р. Бухтарма — с. Печи и р. Шаравка — с. Шаравка. Период наблюдений за стоком для выбранных рядов составил от 40 до 49 лет. Значения статистик Смирнова — Граббса, вычисленных для наибольших членов этих рядов, равны: G_N1 = 3,389, G_N2 = 3,394, G_N3 = 2,739, G_N4 = 3,693, G_N5 = 3,522, G_N6 = 3,706. При сравнении расчетных значений статистик с критическими (G_N*(0,0)) в предположении, что эмпирические ряды соответствуют нормальному распределению и не имеют статистически значимой автокорреляции, т.е. С_s = 0 и r(1)=0, получаем, что гипотеза о наличии в рядах наблюдений максимального, резко отклоняющегося расхода может быть принята для пяти рядов из шести с вероятностью Р > 99 %.

Однако было установлено, что распределения являются асимметричными и имеет место статистически значимая автокорреляция. Анализ эмпирических распределений минимальных расходов воды, а также метеорологических стокоформирующих факторов (осадков и температуры воздуха) не подтвердил гипотезу о наличии «аномальных» величин в выбранных рядах. Поэтому для проверки гипотезы однородности были использованы критические значения статистик Смирнова—Граббса из таблиц [3], определенные с учетом асимметрии и автокорреляции. Значения коэффициентов r(1) и C_s в связи с ограниченностью выборок были определены по совокупности рядов наблюдений в однородном районе с общим объемом объединенной совокупности в 262 года. В результате получены коэффициент автокорреляции r(1) = 0,26 и коэффициент асимметрии C_s = 1,4. По индивидуальным объемам выборок и обобщенным r(1) и C_s из таблиц [3] были определены критические значения статистик Смирнова—Граббса. Сравнение расчетных значений статистик с критическими, учитывающими асимметрию и автокорреляцию, показало, что G_N < G_N* при a >10 %, что дает основание отклонить гипотезу о резко выделяющихся максимальных значениях как маловероятную.