2.4. Статические характеристики элементов

Статическая характеристика элемента – график зависимости установившегося постоянного выходного сигнала от постоянного входного сигнала в статическом режиме.

Статические характеристики строятся по уравнениям статики (4) – (6) в соответствующих для каждого элемента осях «вход-выход». Поскольку уравнения статики являются уравнениями прямой, то для построения графика достаточно двух точек: при входном сигнале равном «0» и равном «1», как выполнено ниже.

Для элемента с внутренним параметром, отмеченным знаком «?» в п.1.4., график можно не строить.

Регулятор

Усилитель

Д вигатель

2.5. Передаточные функции элементов

Передаточные функции элементов получаются из их уравнений динамики через операторные уравнения так, как показано в приложении 2.

Регулятор:

• операторное уравнение:

(7)

• передаточная функция:

(8)

Усилитель:

• операторное уравнение:

(9)

• передаточная функция:

(10)

Двигатель

• операторное уравнение:

(11)

• передаточная функция:

(12)

3. Анализ системы управления

Анализ системы управления выполняется для получения её математических моделей и некоторых характеристик.

3.1. Описание работы системы управления

Описание работы системы составляется по принципиальной и структурной схемам, используя результаты определения типов элементов. Указывается назначение системы и порядок ее работы.

Система управления предназначена для автоматического управления скоростью V вращения вала двигателя в соответствии с заданным значением скорости Vн.

При отклонении фактической V скорости вращения вала двигателя от заданной (номинальной) Vн, в управляющем устройстве возникает отличная от нуля ошибка управления V.

Это изменение скорости вызывает пропорциональное перемещение муфты регулятора на величину y.

Вследствие этого открывается подача масла в усилитель и начинается интегрирующее перемещение x его штока вместе с топливной заслонкой.

Топливная заслонка изменяет подачу топлива в двигатель в нужную сторону – при превышении скорости уменьшает, а при занижении скорости увеличивает подачу.

Перемещение топливной заслонки вызывает пропорциональное изменение скорости V вала двигателя и продолжается то тех пор, пока фактическая скорость не станет равна заданной, то есть пока не исчезнет ошибка управления.

После этого муфта регулятора вернется в первоначальное положение. Прекратится подача масла в усилитель. Его шток вместе с топливной заслонкой остановится в нужном положении, обеспечивая выполнение закона управления

3.2. Передаточная функция для выходного сигнала

Передаточные функции для выходного сигнала и для ошибки составляются по структурной схеме системы из передаточных функций элементов методом «последовательного обхода» или по формуле Мейсона или по методу структурных преобразований описанному в приложении 3.

В структурной схеме п. 1.2. заменяется прямая цепь последовательно соединённых звеньев одним звеном W₁:

(13)

О ставшееся типовое соединение с «единичной» отрицательной обратной связью заменяется звеном W_V, являющимся общей математической моделью системы управления для выходного сигнала «V»:

(14)

С подстановкой (13) в (14) получим:

(15)

С учетом формул (8), (10) и (12):

(16)

В общем виде:

(17)

Полиномиальные коэффициенты выражения (17) с учётом (16) и п. 1.4.:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

В полиномиальных коэффициентах параметр, обозначенный знаком «?» в п. 1.4. остаётся неизвестной переменной величиной.

3.3. Уравнение динамики для выходного сигнала

Уравнение динамики получают из передаточной функции через операторные уравнения в обратном порядке так, как показано в приложении 2.

В соответствие с передаточной функцией (17) получается:

• операторное уравнение:

(24)

• дифференциальное уравнение:

(25)

3.4. Уравнение статики и статическая характеристика для выходного сигнала

Уравнения статики и статические характеристики получаются аналогично пунктам 2.3. и 2.4.

Уравнение статики с учётом (18) и (22):

(26)

Статическая характеристика:

3.5. Передаточная функция для ошибки управления

Структурная схема для удобства восприятия преобразуется для ошибки управления следующим образом:

В структурной схеме заменяется обратная цепь последовательно соединённых звеньев одним звеном W₁:

(27)

О ставшееся типовое соединение с отрицательной обратной связью и «единичной» прямой цепью заменяется звеном W_, являющимся общей математической моделью системы управления для ошибки управления «V»:

(28)

С подстановкой (27) в (28) получим:

(29)

С учетом формул (8), (10) и (12):

(30)

В общем виде:

(31)

Полиномиальные коэффициенты выражения (31) с учётом (30) и п. 1.4.:

(32)

(33)

(34)

Коэффициенты , , и определяются как для выражения (17) по формулам (19), (20), (21) и (22).

3.6. Уравнение динамики для ошибки управления

В соответствие с передаточной функцией (31) получается:

• операторное уравнение:

(35)

• дифференциальное уравнение:

(36)

3.7. Уравнение статики и статическая характеристика для ошибки управления

Уравнение статики

(37)

Статическая характеристика

Уравнение статики и характеристика в данном примере говорят о том, что в статическом режиме ошибки управления не будет.

4. Выбор параметра системы управления

Решается инженерная задача поиска оптимального параметра одного из элементов системы управления, который отмечен знаком «?» в п. 1.4.

4.1. Диапазон параметра, в котором система устойчива

Диапазон устойчивости определяется по критерию Гурвица, описанному в приложении 4, для системы соответствующего порядка.

Данная система управления описывается уравнением динамики 3-го порядка (25).

Условие устойчивости Гурвица для системы 3-го порядка:

(38)

С учетом выражений (19) – (22) получается:

(39)

(40)

Решая систему неравенств (40) находим диапазон параметра «k_У», в котором система управления устойчива:

(41)

(42)

Система управления будет устойчива при выполнении условия:

(43)