- •1. Функції багатьох змінних, частинні похідні та диференціали, формула Тейлора.
- •Неявно задані функції багатьох змінних та їх диференціювання. Екстремуми, найбільше і найменше значення функції багатьох змінних в області Якщо задане рівняння
- •Підставляючи цей вираз у друге рівняння, здобудемо
- •Градієнт та похідна в напрямі
- •Метод найменших квадратів обробки експериментальних даних
Метод найменших квадратів обробки експериментальних даних
На практиці часто постає задача про відтворення функціональної залежності між двома величинами за експериментальними даними. Нехай - значення аргумента, - здобуті в результаті експерименту значення функції. Як правило, значення зазнають впливу випадкових факторів /похибок вимірювання/. До того ж функція може мати складний вигляд. Постає питання про наближене відображення функціональної залежності між величинами і за допомогою функції , яка в якомусь сенсі є “близькою” до . У найпростішому випадку , а коефіцієнти
a і b вибираються так, щоб вираз
набував найменшого значення.
Розв’язуючи задачу про знаходження мінімуму функції двох змінних , дістаємо систему рівнянь :
з якої і знаходимо значення і .
Приклад. У результаті проведення експерименту здобуто такі значення і :
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
y |
-1 |
2 |
5 |
6 |
9 |
Знайти функцію , що наближає цю експериментальну залежність за методом найменших квадратів, накреслити графік цієї функції та нанести на координатну площину результати експерименту.
Обчислимо коефіцієнти системи для знаходження і . У нашому випадку .
Звідси
.
Система має вигляд
Розв’язуючи систему, знаходимо : /рис.10/.
y = 2,4x – 0,6
90