- •1. Функції багатьох змінних, частинні похідні та диференціали, формула Тейлора.
- •Неявно задані функції багатьох змінних та їх диференціювання. Екстремуми, найбільше і найменше значення функції багатьох змінних в області Якщо задане рівняння
- •Підставляючи цей вираз у друге рівняння, здобудемо
- •Градієнт та похідна в напрямі
- •Метод найменших квадратів обробки експериментальних даних
Підставляючи цей вираз у друге рівняння, здобудемо
.
З третього рівняння , підставляючи цей вираз у попередню рівність, маємо
,
звідки . Обчислюючи значення функції в точці , маємо
.
Оскільки кінці відрізка ІІІ збігаються з кінцями відрізків І і ІІ, то обчислювати значення функції в цих точках немає потреби /вони вже обчислені під час дослідження відрізків І і ІІ, виявилися рівними нулю/.
Підведемо підсумки. У внутрішній частині даної області функція має одну точку екстремуму , що є точкою максимуму, . При дослідженні функції на границі області виявилося, що найбільше її значення на границі досягається у точці з абсцисою 1 і ординатою 1,5, воно дорівнює 2,25 і менше, ніж . Найменше ж значення на границі дорівнює –18 і досягається у точці з абсцисою 3 і ординатою 3.
Відповідь. Найбільше значення функції в області досягається в точці , найменше , досягається в точці .
Градієнт та похідна в напрямі
Якщо задана функція багатьох змінних , де - точка
n – вимірного простору, то цій точці може бути поставлений у відповідність вектор, координатами якого є значення відповідних частинних похідних функцій у точці . Такий вектор називається градієнтом функції :
Приклад 1. Знайти градієнт функції у точці .
Розв’язання. Обчислимо частинні похідні функції :
.
Підставимо координати даної точки :
.
Отже,
.
Відповідь. .
Якщо з кожною точкою простору пов’язане число /скалярна величина/, то говорять, що задане скалярне поле. Прикладами поля можуть бути поле температур у різних точках тіла, поле густин маси в різних точках цього тіла, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску та ін. Градієнт показує напрям максимального зростання скалярного поля при переміщенні з даної точки.
Очевидно, що скалярне поле визначається скалярною функцією трьох змінних x, y, z /якщо простір 3 – вимірний/, яка може залежати також від часу t /нестаціонарне скалярне поле/.
Якщо з кожною точкою простору пов’язаний вектор, то говорять, що задане векторне поле, яке визначається векторною функцією /стаціонарне векторне поле/ чи функцією /нестаціонарне поле/.
Якщо у скалярному полі задана точка і вказано деякий промінь, що виходить з цієї точки, то можна ввести поняття похідної в напрямі даного променя від даного скалярного поля /від функції / у цій точці.
Нехай точка лежить на відстані від точки на даному промені, а промінь утворює з додатними напрямами осей координат відповідно кути . Тоді вектор , як відомо має, має координати / /, а похідною у напрямі променя , обчисленою в точці , називається границя
.
Для обчислення похідної в напрямі користюються формулами
або
,
де - одиничний вектор, вектор що збігаєть за напрямом з даним променем.
Аналогічно визначається похідна в напрямі для функції двох змінних .
Приклад 2. Обчислити похідну функції у точці в напрямі бісектриси s першого координатного кута та у напрямі вектора .
Розв’язання. Оскільки бісектриса першого координатного кута утворює з обома координатними осями рівні кути / /, то .
Обчислимо частинні похідні даної функції у точці :
,
86
У випадку похідної в напрямі вектора
Відповідь.