Приложение 2

Понятие о связях и реакциях связей. Исследование системы сил, приложенных к тормозной планке, и определение нормального давления планки на блок

1. В технических устройствах возможности движений твёрдых тел всегда ограничены некоторыми условиями. По определению - условия, ограничивающие свободу движения вещественных объектов, называются связями.

Такие условия, т.е. связи, на практике реализуются в виде твёрдых поверхностей, специальных опор (призмы, катки, шарниры и пр.), деталей подвесов (нити, тросы, цепи, оси и пр.), деталей типа кронштейнов (жёсткие и полужёсткие заделки), а также - в виде деталей механического соединения тел (стержни, заклёпки и пр.).

2. Для практических исследований силы, приложенные к точкам изучаемого объекта (например, твёрдого тела), принято разделять на активные силы и реакции связей.

Активными обычно называют силы, под действием которых исследуемое тело могло бы совершать (или совершает) механическое движение. Такие силы считаются либо заданными, либо должны определяться дополнительным расчётом, исходя из условий поставленной задачи.

Реакции связей - это силы, действующие со стороны связей на исследуемый объект (тело). Такие силы приложены всегда в точках контакта на поверхности тел, например, в точках опоры или подвеса. Реакции связей характеризуют электромагнитное взаимодействие между частицами (молекулами, атомами и т.д.) тел.

Величина и направление реакций связей обусловлены суперпозицией (суммированием) множества межчастичных взаимодействий, теоретический расчёт которых оказывается чрезмерно сложным и не позволяет получить специальную формулу, пригодную для практических вычислений.

Расчёты реакций связей основаны на применении законов механики и наиболее просто выполняются в задачах статики, т.е. для систем в условиях равновесия, когда суммы всех сил (включая реакции связей), приложенных к исследуемому объекту, и моментов этих сил равны нулю.

В векторной форме такие условия имеют вид:

(1-П)

Здесь ^* и ^*(F)- суммы активных сил и моментов этих сил; ^* и ^*

( R) - суммы реакций связей и моментов тех же связей; все моменты сил должны вычисляться относительно одного и того же полюса.

Для практических вычислений необходимо уравнения (1-П) записать в виде проекций на координатные оси. В наиболее общем случае (пространственная система сил) равновесие каждого тела будет описано системой из шести уравнений, что позволяет определить шесть неизвестных проекций реакций связей.

Более подробно методы расчёта реакций разного типа связей изучаются в курсе теоретической механики.

3.Уравнения (1-П) - это следствие законов сохранения импульса и момента импульса.

Согласно первому закону - импульс системы сохраняется, если сумма всех внешних сил, приложенных к точкам системы, равна нулю. Центр масс системы при этом должен либо покоиться, либо двигаться равномерно и прямолинейно (в заданной инерциальной системе отсчёта).

Согласно второму закону - момент импульса системы сохраняется, если сумма моментов всех внешних сил, приложенных к точкам системы, равна нулю. При этом твёрдое тело, например, должно либо полностью не поворачиваться, либо может вращаться с постоянной угловой скоростью (в заданной инерциальной системе отсчёта).

В машинах и механизмах часто применяют вращающиеся симметричные тела (блоки, шестерни и т.д.) с осью, проходящей через центры масс. Для таких тел выполняется только условие равновесия всех приложенных сил (первое уравнение в (1-П)). Моменты сил обычно не уравновешены, т.е. их сумма не равна нулю, и тела совершают ускоренное вращение.

Кроме вращающихся тел, в технических устройствах обычно имеются тела, совершающие иные типы движения, например, поступательное или плоское. Движение всегда происходит при наличии связей, реакции которых определяются с использованием уравнений динамики ускоренного движения, т.е. в условиях, когда уравнения равновесия (1-П) не выполняются.

4. В установке "Грузовой блок с тормозной планкой" условие равновесия сил, приложенных к блоку, уже применялось для расчёта реакции оси (см. п. 1.3). Ось блока является здесь основной связью, определяющей положение блока в пространстве.

Сила тяжести блока и сила натяжения нити, приложенная в т. В (см. рис. 1) - должны быть отнесены к активным силам.

Тормозная планка, опущенная на обод блока - вторая связь, которая "препятствует" вращению блока. Реакция этой связи разложена на две составляющие: силу трения Р_тр и силу нормального давления Q (см. рис. 16). Одна из составляющих этой реакции (сила Р_тр ) определяется с помощью уравнения динамики вращательного движения блока по формулам (18) п. 2.3. С ростом реакции, действующей со стороны планки, можно полностью останавливать вращение блока

Для груза связью является нить, ограничивающая возможность его свободного падения под действием активной силы - силы тяжести груза. Реакция, т.е. натяжение нити здесь вычисляется, как показано в (16) п.2.3, с помощью уравнения Ньютона - П закона динамики для ускоренного движения центра масс груза

Отметим, что такая же по величине, но противоположная по направлению сила натяжения нити в точке касания с блоком, рассматривается в качестве активной силы, т.к. момент этой силы "заставляет" блок ускоренно вращаться.

5. Поставим теперь задачу определения силы нормального давления на блок со стороны тормозной планки. Оказывается, что ни уравнения динамики для движения блока и груза, ни уравнения статики (равновесия) для центра масс блока не позволяют найти величину этой силы, хотя, как показано ниже, имеется существенная зависимость силы F_тр, тормозящей вращение блока, от нормального давления планки.

Необходимо выполнить расчёт сил, действующих на тормозную планку. Для планки связями является ось в т. А (см. рис. 1-П) и поверхность блока, на обод которого планка опирается в некоторой точке К (точку опоры К вначале для расчётов полагаем выбранной произвольно). Сила тяжести планки - это активная сила, приложенная к центру масс планки в т. Д и только для неё здесь заранее полностью известны величина и направление. Планку в данном случае считаем однородным телом, точка Д находится посередине.

Планка покоится, т.е. для расчётов надо применить уравнения равновесия сил и моментов сил.

рис.1-П

Обозначим реакцию оси в точке А и реакцию блока в точке К - _А и _К. Для реакции _А не известны ни величина, ни направление. При расчёте реакции _К надо учесть, что в т. К, где планка опирается на обод блока, силы взаимодействия между планкой и блоком должны быть равны и противоположны по направлению.

Сила, действующая на блок в т. К, была разложена на две

Составляющие: _тр и (см. рис. 16). Запишем реакцию _К в виде:

_К= *_тр + * ,где *_тр =- *_тр; * =- *.

Реакцию в т. А представим в виде: _А = _А + _А где _А и _А произвольно выбранные по величине и направлению две составляющие неизвестной пока силы _А .

На схеме рис. 1-П изображены векторы сил, приложенных к планке в точках А, D и К. Координатная система имеет начало в т. А, выбранной в качестве полюса для расчета моментов сил. Ось х направлена вдоль планки, ось z - опущена вниз перпендикулярно планке. Силы, приложенные к планке, находятся в одной плоскости (плоская система сил) и проектируются на оси х и z. Моменты сил проектируются на ось у.

Направление реакции _А и её составляющих на рис. 1-П выбраны условно и должны быть проверены результатом расчёта.

Направления составляющих * и *_тр здесь известны заранее.

Требуется только найти величину составляющей *, которая определяет и значение силы трения (см. формулу (6-П)).

Следовательно, в поставленной задаче имеются три неизвестные

величины: * , X_А и Z_А, и для их расчёта записываются три уравнения, два - для проекций сил и одно - для проекций моментов сил:

(2-П)

Третье уравнение в (2-П) содержит только моменты сил Q* и G (т.к. моменты остальных сил относительно точки А равны нулю). Здесь и определяют плечи сил Q* и G. Расстояние между точкой А и точками D и К считаются заданными (их нетрудно измерить в опыте, так же как и угол наклона планки). Обозначим: АD= и АК= . Из схемы рис. 1-П получаем: .

Теперь, когда все величины G, и - известны, определяем силу Q*, равную по величине нормальному давлению Q на блок в т. К:

(З-П)

Неизвестные составляющие реакции N_A находим из первых двух уравнений (2-П):

(4-П)

Здесь: Z_А - вычислена с помощью (З-П). Численные значения реакций определяются формулами:

(5-П)

Выражение для составляющей X_А запишем с учётом формулы для силы трения:

(6-П)

где - коэффициент трения между планкой и ободом блока. Используя (6-П), получим:

(7-П)

Анализ формул (4-П) и (7-П) показывает, что действительное направление составляющей X_А противоположно выбранному вначале и показанному на рис. 1 -П. Значит и реакция _А должна быть развёрнута в другую сторону. Направление составляющей Z_A зависит от отношения размеров : при получаем, что Z_A - положительна, т.е. направлена вниз (как изображено на схеме); при направление Z_A изменяется на противоположное; в случае: , когда точка опоры К совпадает с центром масс планки, получаем: Z_А= 0 , т.е. реакция N_А = - X_А и направлена вдоль планки влево.

Анализ полученных формул показывает также сильную зависимость реакций на планке (следовательно и сил нормального давления и трения на блоке) от угла наклона и отношения .

Согласно (3-П) и (6-П) силы нормального давления и трения максимальны при и обращаются в нуль при . Особо эффектна зависимость трения от отношения , т.к. при (при смещении точки опоры К к оси планки в т. А) получаем (если ). При (где - полная длина планки) получаем:

. При т.е. при помещении точки опоры в центр

масс планки, имеем: .

Таким образом, приходим к выводу, что, не изменяя ни массу планки, ни коэффициент трения , можно регулировать величину тормозящей силы на блоке только перемещением точки опоры тормозной планки.

29