2.3.5. Центральна гранична теорема

Ми розглянули теореми закону великих чисел, які вста­новлюють факт збіжності за ймовірністю послідовності деяких випадкових вели­чин до сталих їх характеристик незалежно від їх закону розподілу. Група теорем, що стосуються граничних законів розподілу суми випадкових величин, об’єднані загальною назвою – центральна гранична теорема. Центральна гранична теорема встановлює умови, за яких указаний гра­ничний закон є нормальним.

Наведемо одне з формулювань цієї теореми, доведеної О. М. Ляпуновим.

Центральна гранична теорема. Нехай … – послі­довність незалежних випадкових величин зі скінченними математичними спо­діваннями і дисперсіями і = 1, 2, ... . Уведемо нові випадкові величини: , для яких

Тоді, якщо виконана умова , де , то для будь-якого числа х виконується така гранична рівність:

(2.44)

Рівність (2.44) означає, що закон розподілу нормованих відхилень суми за наближається до стандартного нормального закону розподілу. У цьому випадку кажуть, що має асимптотично-нормальний розподіл.

У подальших своїх дослідженнях О. М. Ляпунов довів справедливість граничного нормального розподілу за більш загальних умов: якщо існує таке число для якого

,

то для будь-якого числа х виконується гранична рівність (2. 44).

Ця гранична рівність отримала назву умови Ляпунова.

На практиці центральна гранична теорема переважно використовується в тому разі, коли доданки Х_і мають однаковий розподіл. Наприклад, у математичній статистиці вибіркові випадкові величини (див. розділ 3) мають однакові розподіли, оскільки ми їх отримуємо на базі однієї і тієї ж генеральної сукупності.

Наслідок із центральної граничної теореми. Нехай , … – послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин зі скінченними математичними сподіваннями а = М(Х_п), дисперсією і

.

Тоді для будь-якого х

(2.44)

Приклад 2.23. Кожна з незалежних випадкових величин розподілена рівномірно на проміжку Написати наближено густину і функцію розподілу випадкової величини

Розв’язання. Кожна зі 100 випадкових величин має густину розподілу:

Обчислимо чисельні характеристики:

Оскільки для послідовності Х₁, Х₂, ..., Х_п, ... виконані умови наслідку з центральної граничної теореми, то на підставі рівності (2.44) робимо висновок, що розподіл нормованої випадкової величини можна наближено замінити на розподіл стандартної нормальної випадкової величини Z N(0, 1) або, що те ж саме, розподіл випадкової величини Y₁₀₀ можна наближено замінити на нормальний розподіл із параметрами M(Y₁₀₀) = 4,5 і . Тому наближені формули для густини розподілу f(x) та функції розподілу F(x) випадкової величини Y₁₀₀ будуть такі:

, .

Приклад 2.24. У касі деякої установи залишилася сума d = 3 500 (грн). У черзі за одержанням грошей стоять 20 осіб. Сума Х, яку потрібно виплатити окремій особі, – випадкова величина з математичним сподіванням М(Х) = 150 (грн) і середнім квадратичним відхиленням  (Х) = 60 (грн). Знайти ймовірність того, що суми d не вистачить для виплати грошей усім особам, які стоять у черзі.

Розв’язання. На підставі центральної граничної теореми для однаково розподілених доданків при великому п (а п = 20 практично можна вважати великим), випадкова величина

,

де – сума, яку потрібно виплатити і-тій особі, має приблизно нормальний розподіл із параметрами:

або

Отже, з імовірністю, близькою до 0,0307, наявної в касі суми грошей не вистачить для виплати всім бажаючим особам.