2.5.3. Чисельні характеристики

Оскільки величина або є випад­ковою, то її вивчають також за допомогою чисельних характеристик. Наведемо формули для їх обчислення у випадку функції одного випадкового аргументу.

А. В и п а д о к д и с к р е т н о г о а р г у м е н т у. Нехай Х – дискретна випадкова величина і Основні чисельні характеристики випадкової величини Y обчислюють за формулами:

• математичне сподівання:

, (2.85)

де – можливі значення величини Y, – їх імовірності (див. табл. 2.11);

• дисперсія:

; (2.86)

• середнє квадратичне відхилення:

. (2.87)

Приклад 2.46. Обчислити для випадкової величини , яка описана в задачі 2.40.

Розв’язання. За формулами (2.85)–(2.87) і за даними останньої таблиці задачі 2.40 обчислюємо:

Б. В и п а д о к н е п е р е р в н о г о а р г у м е н т у. Нехай Х – неперервна випадкова величина, усі значення якої містяться на [a, b] і Основні чисельні характеристики випадкової величини Y об­числюються за формулами:

• математичне сподівання:

(2.85)

де f(x) – густина розподілу величини Х, g(y) – густина розподілу величини Y;

• дисперсія:

; (2.86)

• середнє квадратичне відхилення:

. (2.87)

Приклад 2.47. Обчислити для неперервної випадкової величини , яка описана густиною f(x) задачі 2.41.

Розв’язання. За формулами (2.85´)–(2.87´) маємо:

або

або

.

Рекомендована література: [1, с. 141–146; 5, c. 139–144; 7, c. 173–192].

Завдання для самоконтролю

Основні поняття, означення та відношення

Замість крапок запишіть таке продовження (доповнення) тексту словами або форму­лами, щоб отримати правильне означення або твердження.

1. Функцією Y одного випадкового аргументу Х називається …

2. Законом розподілу функції дискретного аргументу Х називається …, і він записується у формі таблиці …

3. Густина розподілу g(y) випадкової величини виражається форму­лою …, якщо є монотонна, неперервна і диференційовна функція.

4. Густина розподілу g(y) випадкової величини , якщо не є моно­тонна функція, виражається формулою: …

5. Функцією Z двох випадкових аргументів Х, Y називається …

6. Щоб записати закон розподілу випадкової величини у випадку, коли Х і Y – дискретні незалежні випадкові величини, потрібно …

7. Якщо Х і Y – незалежні неперервні випадкові величини з густинами розподілів і , то густина розподілу g(z) випадкової величини виражається формулами: …

8. Якщо Х і Y – довільні неперервні випадкові величини і – густина їх сумісного роз­поділу, то густина g(z) випадкової величини виражається однією з формул: …

9. Чисельні характеристики функції у випадку дискретного випадкового аргументу Х обчислюються за формулами: …

10. Чисельні характеристики функції у випадку неперервного випадкового аргументу обчислюються за формулами: …

Тести

Запишіть на бланку відповідей номер завдання і коди (порядкові номери або лі­тери), що відповідають тим варіантам відповідей, які вважаєте правильними.

1. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

х = хі	–2	-1	0	1	2
р = рі	0,2	0,1	0,4	0,1	0,2

Який закон розподілу величини ?

Варіанти відповідей:

А.		0	1	4	Б.		0	1	4	В.		0	1	2
		0,4	0,2	0,4			0,4	0,3	0,3			0,4	0,4	0,4

2. Густина розподілу неперервної випадкової величини Х задана формулою:

Яка густина розподілу g(y) випадкової величини

Варіанти відповідей: 1. . 2. .

3. .

3. Дискретні незалежні випадкові величини Х і Y задані законами розподілів у формі таблиць:

Х = хі	0	1			2	3
р = рі	0,4	0,6			0,5	0,5

Який закон розподілу величини

Варіанти відповідей:

А.		0	2	3	Б.		2	3	4	В.		2	3	4
		0,4	0,2	0,4			0,2	0,5	0,3			0,2	0,2	0,3

4. Неперервні незалежні випадкові величини Х і Y задані густинами розподілів:

Яка густина розподілу g(z) випадкової величини ?

Варіанти відповідей: 1. , 2. ,

3. ,

5. Для випадкової величини , яка описана у завданні 1, обчислити: а) M(Y); б) D(Y); в) (Y);.

Варіанти відповідей: а) 1. 1,5. 2. 1,8. 3. 0,8;

б) 1. 1,36. 2. 2,85. 3. 3,36;

в) 1. 1,17. 2. 1,69. 3. 1,83.

6. Для випадкової величини , яка описана в завданні 2, обчислити: а) M(Y); б) D(Y); в) (Y);.

Варіанти відповідей: а) 1. 1,5. 2. 1,12. 3. 1;

б) 1. 1,55. 2. 0,15. 3. 1,35;

в) 1. 1,25. 2. 0,39. 3. 1,16.