1.3. Геометрична інтерпретація множин

Діаграми Венна, круги Ейлера

Для наглядного зображення співвідношень між підмножинами універсальної множини використовуються діаграми Венна і круги Ейлера.

П обудова діаграми Венна полягає в розбитті площини на 2ⁿ областей за допомогою п фігур. Кожна фігура на діаграмі зображує окрему множину, п — число зображуваних множин. При цьому кожна наступна фігура повинна мати одну і тільки одну загальну область-перетин з кожною з раніше побудованих фігур. Площина, на якій зображуються фігури, становить універсальну множину U. Таким чином, точки, що не належать жодній з фігур, належать тільки U. Діаграма Венна для двох множин А і В зображена на рис. 1.1.

За допомогою діаграм Венна можна графічно показати, чи належить деякий елемент х  U розглянутим множинам, чи ні. Наприклад, на рис. 1.1 елемент x₁ належить А і не належить В, х₂ належить А і В, х₃ належить В і не належить А, х₄ не належить ні А, ні В. Будь-який елемент належить універсальній множині U.

Діаграму Венна для трьох множин А, В і С зображено на рис. 1.2, де елемент х₁ належить множинам А, В і С, х₂ належить В і С і не належить А.

Діаграму Венна для чотирьох множин А, В, С і D зображено на рис. 1.3, на якому як приклад зображено елемент x₁, що належить всім чотирьом множинам: А, В, С і D. Для ясного уявлення заштрихуємо кожну область цієї діаграми, використовуючи більш густе штрихування там, де точки належать більшому числу множин:

• н алежить тільки одній з множин;

• належить тільки двом з множин;

• належить тільки трьом з множин;

• належить всім чотирьом множинам.

Рис. 1.3. Діаграма Венна для чотирьох множин А, В, С і D

Діаграми Венна не відображають реальні відношення включення, що встановлені між множинами, а розглядають їх у загальному випадку. Індивідуальні відношення між заданими множинами зображують за допомогою кругів Ейлера. В цьому випадку множини, що не мають загальних елементів, зображують не перетинними фігурами. Відношення включення на множинах зображують, розташовуючи одну фігуру вкладеною в іншу. Розглянемо побудову кругів Ейлера на прикладі рис 1.4.

А = {1, 4, 6}; В = {1, 5, 8}; Загальний елемент — 1	А = {1, 4, 6}; В = {1, 6}; В  А	А = {1, 4, 6}; В = {3, 5, 8}; Немає загальних елементів А і В

Рис. 1.4. Зображення множин за допомогою кругів Ейлера

Запитання

1. В чому відмінність між діаграмами Венна і кругами Ейлера?

2. Спробуйте зобразити діаграму Венна для чотирьох множин, використовуючи кола. Чи можливе таке зображення?

3. Чи є фігура, зображена на рис. 1.5, діаграмою Венна для чотирьох множин? Аргументуйте відповідь.

4. Як розташовані круги Ейлера для множин, які не мають загальних елементів?

5. Як за допомогою кругів Ейлера зобразити підмножини даної множини?

Завдання

1. Визначте, яким множинам належать елементи х₁ ... х₇, що розташовані на діаграмі Венна, зображеній на рис 1.6.

2. Зобразіть такі множини у вигляді кругів Ейлера:

   1. А= {0, 1, 2}, В = {1, 2, 3, 4, 5};

   2. А = {а, b, с, d, e), В = {d, а, e};

   3. N – натуральні числа, Z – цілі числа, R – дійсні числа;

   4. X – множина птахів, Y – множина звірів, Z – множина ссавців, F – множина роликів, G – множина живих організмів, які живуть морях і океанах.

3. Зобразіть за допомогою кругів Ейлера множину А, В, С, якщо А  В, В  С. Покажіть, що якщо А  В, В  С, то А  С.

Рис. 1.5. Умова запитання 3 Рис. 1.6. Діаграма Венна