Способи задания множин

1. Множину можна задати простим переліком елементів

А = {а₁, а₂, ..., а_n}.

Приклад. Множину відмінників у групі позначимо O і задамо її переліком: О = {Іванов, Петров, Сидоров, Кукушкіна}.

Спосіб задания множини переліком її елементів не придатний для задания нескінченних множин, а у випадку скінченних множин його практично часто не можна реалізувати. Так, не можна перелічити множину риб у Тихому океані, хоча їхнє число скінченне.

2. Інший спосіб задания множини складається з опису елементів визначеною властивістю: X = {х | Р(х)}, де Р(х) означає, що елемент х має властивість Р(х).

Приклад. Множину N₁₀ всіх натуральних чисел, менших за 10, можна задати так: N₁₀ = {x  х  N, х < 10}.

Властивості елементів можуть бути задані не формально, а за допомогою опису на природній мові.

Приклад. Множина S студентів групи ПМ-04-1, які одержують стипендію.

Приклад. У геометрії часто доводиться мати справу з множинами, що задані своїми характеристичними властивостями. Так, коло — геометричне місце точок площини, що рівновіддалені від центра даної точки цієї площини.

3. Множина може бути задана рекурсивно вказівкою способу послідовного породження її елементів.

Приклад. Множина значень рекурсивної функції є рекурсивно-заданою множиною , де ф, є , і=1, 2,3,.... Нехай φ₁ = 1, φ₂ = 2, а кожне наступне число залежить від двох попередніх таким чином:

Тоді

;

і т. д.

При заданні множин можуть виникати помилки та протиріччя. Множина задана коректно, якщо для будь-якого елемента можна визначити, належить він множині чи ні.

Приклад. Визначення множини А як множини, що містить будь-які п'ять натуральних чисел, не є коректним, оскільки неможливо визначити точно елементи А. Множина всіх простих чисел визначена коректно. Для будь-якого натурального числа можна перевірити, чи є воно простим, хоча практично на це може знадобитися дуже багато часу.

Приклад. Множина всіх динозаврів, що жили на Землі, є множиною, що задана правильно. Хоча практично неможливо визначити елементи цієї множини, але теоретично ясно, що якщо тварина, яка будь-коли жила на Землі, є динозавром, то вона належить до цієї множини, у протилежному випадку — ні.

Некоректність задания множини часто пов'язана з протиріччям при перевірці належності деякого елемента множині. Наведемо два класичних приклади.

Приклад. Визначимо множину G як множину всіх множин, які не є елементами самих себе. Але тоді не можна з'ясувати, чи є сама множина G елементом множини G. Якщо так, то приходимо до протиріччя, оскільки G містить як елементи тільки множини, які не є елементами самих себе. Якщо множина G не є елементом самої себе, то тоді, за визначенням, вона повинна бути елементом множини G, що є протиріччям.

Приклад. Єдиний перукар у місті N визначає множину К мешканців, яких він повинен голити, як сукупність всіх тих мешканців N, які не голяться самі. Але тоді для самого перукаря виходить протиріччя і при включенні його до множини К, і при віднесенні його до мешканців, які голяться самі.

Такі протиріччя називаються логічними парадоксами і вивчаються в математичній логіці.

Запитання

1. Запишіть за допомогою позначень твердження, що елемент а належить множині А, а елемент b не належить множині А.

2. Наведіть приклади множин, елементами яких є множини.

3. Наведіть приклади скінченних і нескінченних множин.

4. Яку множину називають упорядкованою?

5. Назвіть відомі вам способи задания множин. В якому випадку не можна застосувати той або інший спосіб?

6. В яких випадках множина задана некоректно?

7. Які протиріччя (парадокси) можуть виникнути при визначенні множин? Наведіть приклади.

Завдання

1. Задайте переліченням елементів такі множини:

а) множину натуральних чисел, не більших за 7;

б) множину букв вашого імені;

в) множину, єдиним елементом якої є назва вашого міста;

г) множину простих чисел між 10 і 20;

д) множину додатних чисел, що кратні 12.

2. Задайте у вигляді X = {х | Р(х)} такі множини:

а) множину натуральних чисел, не більших за 100;

б) множину парних додатних чисел;

в) множину натуральних чисел, що кратні 10.

3. Назвіть елементи множин:

а) {х | х  N, 3 < х < 12};

б) {х | х — десяткова цифра}.

4. Визначте, елементом яких з наведених множин є 2:

а) {х | х  N, х > 1};

б) {х | х = у², у  Z};

в) {2, {2}}.