2. Контрольне завдання 2

”Обробка багаторазових вимірів” та ісходні данні.”

При вимірі фізичної величини (ФВ) Х було проведено повторних вимірів того самого значення цієї величини.

Вихідні дані для рішення задачі наведені в табл.2.

З якою метою проводяться багаторазові виміри того самого значення вимірюваної величини?

Зробити обробку ряду свого варіанта в наступній послідовності:

• дати оцінку щирого значення результату виміру;

• побудувати гістограму диференціальної функції розподілу результатів окремих вимірів;

• установити стандартну апроксимацію функції розподілу; перевірити її відповідність отриманої гістограмі за допомогою критерію Пірсона;

• визначити з довірчою імовірністю P границі погрішностей одного виміру й середнього арифметичного.

2.1 Методичні вказівки до завдання 2

У Контрольному завданні 2 необхідно призвести: обробку результатів багаторазових спостережень для одержання дійсного значення вимірюваної величини й оцінку випадкової погрішності виміру.

Вичерпну інформацію про випадкові величини дають функції розподілів імовірності або щільності ймовірності, тобто інтегральна або диференціальна функції розподілу.

У теорії погрішностей більше поширення одержала диференціальна функція , що представляє собою залежність щільності ймовірності погрішностей окремих вимірів від числових значень цих погрішностей. За щільність імовірності погрішностей приймається ймовірність появи даного числового значення погрішності в інтервалі шириною, рівної олениці вимірюваної фізичної величини:

, (6)

де - імовірність появи погрішностей окремих спостережень

у межах інтервалу шириною .

Для знаходження гістограми диференціальної функції розподілу погрішностей результатів окремих спостережень спочатку виробляється оцінка результату виміру . Доведено, що при нормальному законі розподілу погрішностей окремих спостережень за може бути прийняте середнє арифметичне

Така оцінка є ефективної, заможної, незміщеної.

При інших законах розподілу оцінка у вигляді середнього арифметичного стає неефективною.

В [12] пропонується наступна проста схема визначення оцінки результату спостережень, розподіл яких не можна вважати нормальним.

З результатів спостережень складається варіаційний ряд, тобто вони записуються в порядку зростання від до

Приблизно визначається числова характеристика типу розподілу експериментальних даних:

,

де -

середнє арифметичне результатів окремих спостережень;

оцінка дисперсії результатів окремих спостережень.

Якщо за оцінку приймається медіана варіаційного ряду:

, при n-парному

при n- непарному

Тут , , - результати спостережень із порядковими номерами n/2 , n /2+1 й (n+1)/2, починаючи з .

Якщо 2,5 < < 4, то за оцінку вимірюваної величини приймається середнє арифметичне результатів спостережень.

При розподілах, що наближаються до рівномірного (1,8 < < 2,5), найбільш доцільною оцінкою вимірюваної величини є напіврозмах:

,

Розглядаючи обробку результатів спостережень, розподіл яких відрізняється від нормального, варто помітити, що часто поступаються ефективністю й за оцінку вимірюваної величини приймається середнє арифметичне.

Для визначення гістограмі експериментального розподілу з варіаційного ряду результатів вимірів складається варіаційний ряд погрішностей окремих спостережень:

Діапазон погрішностей ( _макс- _мин) розбивається на К>5 рівних інтервалів, довжиною

Для кожного інтервалу обчислюється середина інтервалу , нижня й верхня границі:

Визначається ймовірність (частота) і щільність імовірності погрішностей у межах кожного інтервалу:

де - кількість результатів, погрішності яких укладаються в границі К-го інтервалу; n – загальне число спостережень.

Результати розрахунків зводяться в таблицю й по них будується гістограма експериментального розподілу погрішностей.

Для цього над кожним інтервалом будується прямокутник висотою, рівної в прийнятому масштабі .

С ередини вершин прямокутників з'єднуються плавної кривої, щоб площа, укладена між цією кривою й віссю абсцис, була дорівнює сумі площ прямокутників (рис.1).

Рис.1. Гістограма статистичного розподілу погрішностей.

При встановленні математичної моделі емпіричного розподілу виходять із гістограми статистичного розподілу. По виду гістограми висувається гіпотеза про математичну модель, прийнятої в якості апроксимуючої. Допустимість такий апроксимації оцінюється кількісно за допомогою критеріїв згоди, регламентованих ДОСТ 11.006-74.

При великому числі ( > 50) результатів вимірів кращими є критерії (Пирсона) або (Мизеса -Смирнова).

Ці критерії розроблені для перевірки гіпотези про нормальності розподілу, але їх можна застосовувати й для перевірки відповідності емпіричних даних будь-якому іншому теоретичному розподілу.

При використанні критерію рекомендується наступна схема перевірки висунутої гіпотези.

Визначається клас теоретичних функцій, близьких по виду експериментальному розподілу:

нормальна, трикутна й трапеціевидна з невеликою плоскою ділянкою ; рівномірна й трапецевидная із протяжною вершиною функції.

Далі за допомогою критерію перевіряється, яка із прийнятих теоретичних функцій краще описує експериментальний розподіл. Ідея перевірки полягає в порівнянні емпіричної гістограмі й гістограмі з таким же числом інтервалів, побудованої на основі теоретичного розподілу.

Сума квадратів різностей частот по інтервалах не повинна перевищувати значень , для яких складені таблиці залежно від рівня значимості й числа ступенів волі:

L = K – 3,

де К - число інтервалів.

Рівень значимості критерію вибирається не дуже більшим, щоб була невелика ймовірність відхилення правильної гіпотези, але й не занадто малим, щоб не прийняти помилкову гіпотезу. Рекомендується обмежувати вибір рівня значимості інтервалом .

З теоретичного розподілу ( дод. З) перебувають частоти появи погрішностей із числовими значеннями , що відповідають серединам експериментального розподілу:

де - диференціальна функція теоретичного розподілу.

Обчислюється міра розбіжності частот :

По дод.4 для рівня значимості й числа ступенів волі L визначаються значення параметра потім значення , для рівня значимості . Гіпотеза про відповідність розглянутого теоретичного розподілу експериментальному приймається у випадку виконання умови

Якщо гіпотеза відкидається, то по такій же схемі перевіряється відповідність іншого близького до експериментального теоретичного закону.

Так діють доти, поки не буде знайдений закон, що може бути прийнятий як теоретична модель експериментального розподілу.

Оцінка результату кінцевого числа спостережень також є випадковою величиною й буде приймати різні значення в кожній серії досвідів. Ступінь зміни отриманої оцінки визначається за допомогою довірчого інтервалу - інтервалу, що із заданою ймовірністю, називаної довірчої, накриває щире значення вимірюваної величини.

При відомому законі розподілу погрішностей окремих спостережень довірчий інтервал може бути визначений інтегральною функцією розподілу :

Де - довірча ймовірність; - теоретична функція, що апроксимує експериментальний розподіл.

Якщо відомо, що результати окремих спостережень підкоряються нормальному закону розподілу , а числові характеристики цього розподілу знайдені по кінцевому числу спостережень , то довірчий інтервал визначається у вигляді:

де t- коефіцієнт, одержуваний з розподілу Стьюдента залежно від числа спостережень і довірчої ймовірності ;

- оцінка середнього квадратичного відхилення окремих вимірів.

Якщо розподіл погрішностей не можна вважати нормальним, але за оцінку дійсного значення приймається середнє арифметичне, те довірчий інтервал може бути визначений як

,

де - коефіцієнт приблизно одержуваний з нерівності Чебишева у вигляді:

при несиметричному законі розподілу

або

при симетричному законі розподілу.