10. Однородные системы. Условие существования нейтральных решений и их нахождение.

Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

       a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0 … … … … … … … … … … … am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0

(1)

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения

A · X = O

и операторного уравнения

^Ax = θ

(2)

Система (1) всегда совместна, так как:

1. имеет очевидное решение x₁⁰  =  x₂⁰  =   …   =  x_n⁰ = 0 , которое называется нулевым, или тривиальным;

2. добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы, следовательно, выполняется достаточное условие теоремы Кронекера–Капелли;

3. θ  Img ^A , так как Img ^A — линейное пространство.

Естественно, нас интересуют нетривиальные решения однородной системы.

Условие нетривиальной совместности:

Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия", стр. 77.

Следствие. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными (матрица системы A — квадратная) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю ( det  A = 0 ).

Общим решением системы линейных уравнений называется формула, которая определяет любое ее решение.

Так как система (1) эквивалентна операторному уравнению (2), то множество всех ее решений есть ядро оператора ^A . Пусть Ker ^A ≠ θ , Rg ^A = rи x₁,  x₂,   … ,  x_n − r — базис в ядре оператора.

Фундаментальной системой решений однородной системы (1) называется базис ядра оператора ^A (точнее, координатные столбцы базисных векторов в Ker ^A ).

Это определение можно сформулировать несколько иначе:

Фундаментальной системой решений однородной системы (1) называется n − r линейно независимых решений этой системы.

Будем обозначать координатные столбцы базисных векторов в Ker ^A    X₁,  X₂,   … ,  X_n − r .

Теорема о структуре общего решения однородной системы уравнений:

Любое решение однородной системы линейных уравнений определяется формулой

X = C1 · X1 + C2 · X2 + … + Cn − r · Xn − r,

(3)

где X₁,  X₂,   … ,  X_n − r — фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и C₁,  C₂,   … ,  C_n − r — произвольные постоянные.

Свойства общего решения однородной системы уравнений:

1. При любых значениях C₁,  C₂,   … ,  C_n − r    X , определяемое формулой (3), является решением системы (1).

2. Каково бы ни было решение X₀ , существуют числа C₁⁰,   … ,  C_n − r⁰ такие, что

X0 = C10 · X1 + C20 · X2 + … + Cn − r0 · Xn − r.

Вывод: Чтобы найти фундаментальную систему и общее решение однородной системы, нужно найти базис ядра соответствующего линейного оператора.