3. Вывод формулы Крамера решения системы второго порядка.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = _i/, где

 = det A, а _i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

_i =

Пример.

A = ; ₁= ; ₂= ; ₃= ;

x₁ = ₁/detA; x₂ = ₂/detA; x₃ = ₃/detA;

Решение систем 2-ого порядка.

		5	3		= 5 * ( -1) - 3 * 2 = ( -5) - 6 = -11
		2	-1

4.Исследование системы 2-ого порядка с помощью определителей. Геометрическая интерпретация.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

(1)

и покажем, как решение этой системы приводит к определителю второго порядка.

Сначала преобразуем систему так, чтобы каждое уравнение содержало лишь одно неизвестное. Для этого мы умножим обе части первного уравнения на b₂, а второго на -b₁ и сложим полученные уравнения. Тогда

a1x + b1y = c1

(2)

Затем умножим обе части первого уравнения на -a₂, второго на а₁, сложим найденные уравнения и получим

(a1b2 - a2b1)y = a1c2 - a2c1

(3)

При исследовании системы (1) интерес представляет тот случай, когда хотя бы один из коэффициентов a₁, a₂, b₁, b₂ не равен нулю. Будем считать, что a₁ 0.

Рассмотрим три cлучая:

1. a₁b₂ - a₂b₁№ 0

2. a₁b₂ - a₂b₁ = 0 c₁b₂ - c₂b₁ = 0.

3. a₁b₂ - a₂b₁ = 0 c₁b₂ - c₂b₁ № 0 a₁c₂ - a₂c₁ № 0.

Случай 1: Если a₁b₂ - a₂b₁ 0, то из уравнений (2), (3) находим:

,

(4)

Подставляя в уравнения системы (1) вместо x, y их значения по формулам (4), убеждаемся, что формулы (4) дают решение системы (1).

Пусть х = , y =  - решение системы (1), т.е.

a₁ + b₁ = c₁

a₂ + b₂ = c₂

Из последних равенств получим, как и выше, что

(a₁b₂ - a₂b₁) = c₁b₂ - c₂b₁

(a₁b₂ - a₂b₁) = a₁c₂ - a₂c₁

Мы показали, что всякое решение системы (1) является решением системы, состоящей из уравнений (2), (3), имеет, очевидно, единственное решение, то отсюда следует, что решение системы (1), которое дают формулы (4), является единственным.

Таким обрaзом, если a₁b₂ - a₂b₁ 0, то система (1) имеет единственное решение.

Геометрически случай 1 означает: две прямые, уравнения которых образуют систему (1), пересекаются в одной точке, абцисса и ордината которой составляют решение этой системы.

Случай 2: Пусть a₁b₂ - a₂b₁ = 0 и одно из чисел c₁b₂ - c₂b₁, a₁c₂ - a₂c₁ , например первое, равно нулю; тогда равно нулю и второе число. Действительно, так как , a₁0, то из a₁b₂ - a₂b₁ = 0 следует

=

;

из ₁b₂ - c₂b₁=0 следует

=

;

Отсюда

=

=

=



(5)

и

=

;

или a₁c₂ - a₂c₁ = 0. Из равенств (5) получим:

a₂ = a₁; b₂ = b₁; c₂ = c₁

Обе части уравнения (1) системы умножим на , тогда

a₁x + b₁y = c₁ или a₂x + b₂y = c₂

Таким образом, второе уравнение системы (1) получится из первого умножением обеих частей первого на одно и то же число. Второе уравнение системы (1) можно отбросить.

Очевидно, в этом случае система (1) имеет бесконечное множество решений.

Геометрическое истолкование случая 2: обе прямые, уравнения которых образуют систему (1), совпадают.

Случай 3: Пусть теперь a₁b₂ - a₂b₁ = 0, c₁b₂ - c₂b₁  0, a₁c₂ - a₂c₁ 0.

Тогда

=



Обозначим

=



тогда и

=



Отсюда

a2 = a1; b2 = b1

Умножив обе части первого уравнения системы (1) на , найдем

a1x + b1y = c1 или a2x + b2y = c1

Левые части полученного уравнения и второго уравнения системы (1) равны, а правые - различны. Действительно, если бы c₁ = c₂ , то , что противоречило бы условию.

Следовательно, в данном случае система не имеет решений.

Геометрический смысл случая 3: прямые, уравнения котрых образут систему(1), параллельны.